03. Uma viga uniforme com 9,0 m de compri-
mento ´e articulada em uma parede vertical e
mantida na horizontal por um cabo de 5,0 m de
comprimento. O cabo ´e preso `a parede conforme
mostra a Figura 1. O metal do qual ´e feito o
cabo n˜ao suporta tens˜oes maiores que 1,00 kN.
(a) Desenhe um diagrama de corpo livre para a
viga. (b) Qual ´e o peso da viga mais pesada que
o cabo suporta, nessas condi¸c˜oes? (c) Ache as
componentes horizontal e vertical da for¸ca que a
dobradi¸ca faz sobre a viga. 4,0

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos abordar cada parte separadamente.

(a) **Diagrama de Corpo Livre da Viga:**

1. **Força de Tensão no Cabo (T):** Atua ao longo do cabo, na direção que vai da viga para o ponto de fixação na parede.
2. **Peso da Viga (P):** Atua verticalmente para baixo no centro de massa da viga, que está a 4,5 m da articulação na parede (metade do comprimento da viga).
3. **Reações na Dobradiça:**
   - Força horizontal ($H$) que a dobradiça exerce sobre a viga.
   - Força vertical ($V$) que a dobradiça exerce sobre a viga.

(b) **Peso Máximo da Viga:**

Para encontrar o peso máximo da viga que o cabo pode suportar, precisamos considerar o equilíbrio de momentos em relação à articulação na parede.

A tensão máxima no cabo é 1,00 kN, e o cabo tem 5,0 m de comprimento. A viga está a 9,0 m de comprimento. O ângulo $\theta$ entre o cabo e a viga pode ser encontrado usando trigonometria:

$$
\cos(\theta) = \frac{\text{comprimento horizontal do cabo}}{5,0} = \frac{9,0}{5,0}
$$

No entanto, isso resulta em um valor inválido, indicando que o cabo não está perpendicular à viga, mas sim formando um triângulo retângulo com a parede. Vamos corrigir isso.

A altura vertical do ponto de fixação do cabo pode ser encontrada usando Pitágoras, considerando que a hipotenusa é o comprimento do cabo (5,0 m) e um dos lados é a distância horizontal até a parede:

$$
h = \sqrt{5,0^2 - \left(\frac{9,0}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 20,25} = \sqrt{4,75}
$$

Agora, o momento em torno da dobradiça devido ao peso da viga e à tensão no cabo deve ser zero para equilíbrio:

$$
T \cdot h = P \cdot \frac{9,0}{2}
$$

Substituindo $T = 1,00 \, \text{kN} = 1000 \, \text{N}$ e $h = \sqrt{4,75}$:

$$
1000 \cdot \sqrt{4,75} = P \cdot 4,5
$$

$$
P = \frac{1000 \cdot \sqrt{4,75}}{4,5}
$$

Calculando o valor de $P$:

$$
P \approx \frac{1000 \cdot 2,18}{4,5} \approx 484,44 \, \text{N}
$$

Portanto, o peso máximo da viga que o cabo pode suportar é aproximadamente **484,44 N**.

(c) **Componentes Horizontal e Vertical da Força na Dobradiça:**

Para encontrar as componentes da força na dobradiça, consideramos o equilíbrio das forças horizontais e verticais.

- **Equilíbrio Horizontal:**

$$
H = T \cdot \frac{\text{comprimento horizontal do cabo}}{5,0}
$$

- **Equilíbrio Vertical:**

$$
V + T \cdot \frac{h}{5,0} = P
$$

Substitua os valores conhecidos para encontrar $H$ e $V$.

Este é um esboço geral de como resolver o problema. Se precisar de mais detalhes ou esclarecimentos, sinta-se à vontade para perguntar!

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