J Um vaso de plantas cai du alto de um ndiμείο e passa p
terrino andar, situado 20 m acima do chão .0.55 antes de se
espatifer no chão.

a) Qual é a altura do edificio?

b) Com que velocidade o vaso atinge o chão?

2. lima particula, inicialmente em nepouso na origem, move-se durante
10 segundos em linha reta, com aceluação crescente segundo a lei
a=bt², sendo to tempo e b = 0,5 m/s². Trace os gráficas da veloci
dade (t) e da posição x(t) da particula em função do tempo.
Quais as expressões analiticas para v(t) ex(t)?

3. Uma pecha cai de um balão que se desloca fhorizontalmente. A
pedra permanece no ar durante 38 e atinge o solo segundo uma dise-
qão que faz um ângulo de 30 graus com a vertical.

a) Quala velocidade do balão?

by De que allina care a pedra?

c) Que distância a pecha percorreu na horizontal?

d) Com que velocidade a pedra atinge o sodo?

4. Avelocidade de lançamento de um projetil é cinco vezes maior que
Velocidade na altura máxima. Detumine o ângulo de lançamento

5. Uma bola nola horizontalmente do alto de uma escada a umo
locidade de 3,52 m/s. Os degraus tem 20,3cm de altura e tar
20,3 cm de largura. Em que degian a bola bate pri meino?

Question

J Um vaso de plantas cai du alto de um ndiμείο e passa p
terrino andar, situado 20 m acima do chão .0.55 antes de se
espatifer no chão.

a) Qual é a altura do edificio?

b) Com que velocidade o vaso atinge o chão?

2. lima particula, inicialmente em nepouso na origem, move-se durante
10 segundos em linha reta, com aceluação crescente segundo a lei
a=bt², sendo to tempo e b = 0,5 m/s². Trace os gráficas da veloci
dade (t) e da posição x(t) da particula em função do tempo.
Quais as expressões analiticas para v(t) ex(t)?

3. Uma pecha cai de um balão que se desloca fhorizontalmente. A
pedra permanece no ar durante 38 e atinge o solo segundo uma dise-
qão que faz um ângulo de 30 graus com a vertical.

a) Quala velocidade do balão?

by De que allina care a pedra?

c) Que distância a pecha percorreu na horizontal?

d) Com que velocidade a pedra atinge o sodo?

4. Avelocidade de lançamento de um projetil é cinco vezes maior que
Velocidade na altura máxima. Detumine o ângulo de lançamento

5. Uma bola nola horizontalmente do alto de uma escada a umo
locidade de 3,52 m/s. Os degraus tem 20,3cm de altura e tar
20,3 cm de largura. Em que degian a bola bate pri meino?

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para os problemas apresentados:

1.  
    a) Para encontrar a altura do edifício, precisamos considerar a altura do terceiro andar e a distância que o vaso percorre em 0,3 segundos antes de atingir o chão. Podemos usar a equação da queda livre:

$$
    h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2
    $$

Onde:
    - $ h $ é a distância percorrida,
    - $ v_0 $ é a velocidade inicial (0 m/s, pois o vaso cai),
    - $ g $ é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²),
    - $ t $ é o tempo (0,3 s).

$$
    h = 0 + \frac{1}{2} \times 9,8 \times (0,3)^2 = 4,9 \times 0,09 = 0,441 \text{ m}
    $$

A altura total do edifício é a altura do terceiro andar mais a distância que o vaso percorre em 0,3 segundos:

$$
    \text{Altura total} = 20 \text{ m} + 0,441 \text{ m} = 20,441 \text{ m}
    $$

b) Para encontrar a velocidade com que o vaso atinge o chão, podemos usar a equação:

$$
    v = v_0 + gt
    $$

Onde:
    - $ v $ é a velocidade final,
    - $ v_0 $ é a velocidade inicial (0 m/s),
    - $ g $ é a aceleração devido à gravidade (9,8 m/s²),
    - $ t $ é o tempo total de queda.

Primeiro, precisamos encontrar o tempo total de queda. Usamos a equação da queda livre:

$$
    h = \frac{1}{2}gt^2
    $$

$$
    20,441 = \frac{1}{2} \times 9,8 \times t^2
    $$

$$
    t^2 = \frac{20,441}{4,9} \approx 4,1716
    $$

$$
    t \approx \sqrt{4,1716} \approx 2,042 \text{ s}
    $$

Agora, calculamos a velocidade final:

$$
    v = 0 + 9,8 \times 2,042 \approx 20,01 \text{ m/s}
    $$

2.  
    Dado que a aceleração é $ a = bt^2 $ e $ b = 0,5 $ m/s², podemos encontrar a velocidade $ v(t) $ integrando a aceleração em relação ao tempo:

$$
    v(t) = \int a(t) \, dt = \int bt^2 \, dt = \frac{1}{3}bt^3 + C
    $$

Como a partícula está inicialmente em repouso, $ v(0) = 0 $, então $ C = 0 $. Portanto:

$$
    v(t) = \frac{1}{3} \times 0,5 \times t^3 = \frac{1}{6}t^3
    $$

Para encontrar a posição $ x(t) $, integramos a velocidade em relação ao tempo:

$$
    x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{1}{6}t^3 \, dt = \frac{1}{24}t^4 + D
    $$

Como a partícula está na origem em $ t = 0 $, $ x(0) = 0 $, então $ D = 0 $. Portanto:

$$
    x(t) = \frac{1}{24}t^4
    $$

As expressões analíticas são:
    - $ v(t) = \frac{1}{6}t^3 $
    - $ x(t) = \frac{1}{24}t^4 $

3.  
    a) A pedra cai do balão horizontalmente e permanece no ar por 3 segundos, atingindo o solo com um ângulo de 30 graus com a vertical. A velocidade horizontal da pedra é a mesma que a velocidade do balão. Podemos usar a trigonometria para encontrar a velocidade horizontal.

Seja $ v_x $ a velocidade horizontal e $ v_y $ a velocidade vertical. O ângulo de 30 graus com a vertical significa que:

$$
    \tan(30^\circ) = \frac{v_x}{v_y}
    $$

Primeiro, encontramos $ v_y $ usando a equação da queda livre:

$$
    v_y = gt = 9,8 \times 3 = 29,4 \text{ m/s}
    $$

Agora, encontramos $ v_x $:

$$
    v_x = v_y \times \tan(30^\circ) = 29,4 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 29,4 \times 0,577 \approx 16,96 \text{ m/s}
    $$

A velocidade do balão é aproximadamente 16,96 m/s.

b) A altura de onde a pedra caiu é dada por:

$$
    h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 9,8 \times (3)^2 = 4,9 \times 9 = 44,1 \text{ m}
    $$

c) A distância que a pedra percorreu na horizontal é:

$$
    d = v_x \times t = 16,96 \times 3 \approx 50,88 \text{ m}
    $$

d) A velocidade com que a pedra atinge o solo é a resultante das velocidades horizontal e vertical:

$$
    v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(16,96)^2 + (29,4)^2} = \sqrt{287,6416 + 864,36} = \sqrt{1152,0016} \approx 33,94 \text{ m/s}
    $$

4.  
    Seja $ v_0 $ a velocidade de lançamento e $ v_{max} $ a velocidade na altura máxima. Sabemos que $ v_0 = 5v_{max} $. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero, então a velocidade na altura máxima é apenas a componente horizontal da velocidade inicial:

$$
    v_{max} = v_0 \cos(\theta)
    $$

Como $ v_0 = 5v_{max} $, temos:

$$
    v_0 = 5v_0 \cos(\theta)
    $$

$$
    1 = 5 \cos(\theta)
    $$

$$
    \cos(\theta) = \frac{1}{5}
    $$

$$
    \theta = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) \approx 78,46^\circ
    $$

5.  
    A bola rola horizontalmente com uma velocidade de 3,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 28,3 cm de largura. Primeiro, precisamos encontrar o tempo que leva para a bola cair a uma altura de 20,3 cm:

$$
    h = \frac{1}{2}gt^2
    $$

$$
    0,203 = \frac{1}{2} \times 9,8 \times t^2
    $$

$$
    t^2 = \frac{0,203}{4,9} \approx 0,0414
    $$

$$
    t \approx \sqrt{0,0414} \approx 0,203 \text{ s}
    $$

Agora, encontramos a distância horizontal que a bola percorre nesse tempo:

$$
    d = v \times t = 3,52 \times 0,203 \approx 0,714 \text{ m} = 71,4 \text{ cm}
    $$

Como cada degrau tem 28,3 cm de largura, dividimos a distância total pela largura de cada degrau:

$$
    \text{Número de degraus} = \frac{71,4}{28,3} \approx 2,52
    $$

Portanto, a bola bate no terceiro degrau.

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