O sistema binário acetonitrila(1)/nitrometano(2) apresenta uma boa concordância com a lei de Raoult. As pressões de vapor das espécies puras são fornecidas pelas seguintes equações de Antoine:
ln
⁡
P
1
s
a
t
/
kPa
=
14
,
2724
−
2.945
,
47
t
/
∘
C
+
224
,
00
lnP
1
sat

/kPa=14,2724−
t/
∘
C+224,00
2.945,47

ln
⁡
P
2
s
a
t
/
kPa
=
14
,
2043
−
2.972
,
64
t
/
∘
C
+
209
,
00
lnP
2
sat

/kPa=14,2043−
t/
∘
C+209,00
2.972,64

(b) Prepare um gráfico mostrando t vs. x, e t vs. y, para uma pressão de 70 kPa.

Question

O sistema binário acetonitrila(1)/nitrometano(2) apresenta uma boa concordância com a lei de Raoult. As pressões de vapor das espécies puras são fornecidas pelas seguintes equações de Antoine: 
ln
⁡
P
1
s
a
t
/
kPa
=
14
,
2724
−
2.945
,
47
t
/
∘
C
+
224
,
00
lnP 
1
sat
​
 /kPa=14,2724− 
t/ 
∘
 C+224,00
2.945,47
​
  
ln
⁡
P
2
s
a
t
/
kPa
=
14
,
2043
−
2.972
,
64
t
/
∘
C
+
209
,
00
lnP 
2
sat
​
 /kPa=14,2043− 
t/ 
∘
 C+209,00
2.972,64
​
 

(b) Prepare um gráfico mostrando t vs. x, e t vs. y, para uma pressão de 70 kPa.

Accepted Answer

Para construir o gráfico de temperatura (t) versus fração molar na fase líquida (x) e temperatura (t) versus fração molar na fase vapor (y) para o sistema binário acetonitrila(1)/nitrometano(2) a uma pressão de 70 kPa, seguiremos os seguintes passos:

1. **Cálculo das Pressões de Vapor das Espécies Puras em Função da Temperatura:**
   Usaremos as equações de Antoine fornecidas para encontrar a pressão de vapor de cada componente em função da temperatura.

2. **Aplicação da Lei de Raoult:**
   A Lei de Raoult nos diz que a pressão parcial de cada componente em uma solução é o produto de sua fração molar na fase líquida e sua pressão de vapor no estado puro. Matematicamente:
   
   $ P_1 = x_1 \cdot P_1^{sat} $
   $ P_2 = x_2 \cdot P_2^{sat} $

Onde:
   - $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões parciais dos componentes 1 e 2, respectivamente.
   - $ x_1 $ e $ x_2 $ são as frações molares dos componentes 1 e 2 na fase líquida.
   - $ P_1^{sat} $ e $ P_2^{sat} $ são as pressões de vapor dos componentes 1 e 2 puros, respectivamente.

3. **Cálculo da Temperatura de Bolha (Bubble Point):**
   A temperatura de bolha é a temperatura na qual a primeira bolha de vapor se forma quando um líquido é aquecido. A pressão total é a soma das pressões parciais:
   
   $ P = P_1 + P_2 = x_1 \cdot P_1^{sat} + x_2 \cdot P_2^{sat} $

Como $ x_1 + x_2 = 1 $, podemos reescrever $ x_2 = 1 - x_1 $. Substituindo na equação acima:
   
   $ P = x_1 \cdot P_1^{sat} + (1 - x_1) \cdot P_2^{sat} $

Para cada valor de $ x_1 $ (variando de 0 a 1), iteramos sobre diferentes temperaturas até que a equação acima seja satisfeita para $ P = 70 \, \text{kPa} $.

4. **Cálculo da Composição do Vapor (y):**
   A composição do vapor é dada por:
   
   $ y_1 = \frac{P_1}{P} = \frac{x_1 \cdot P_1^{sat}}{P} $
   $ y_2 = \frac{P_2}{P} = \frac{x_2 \cdot P_2^{sat}}{P} $

Onde $ y_1 $ e $ y_2 $ são as frações molares dos componentes 1 e 2 na fase vapor.

5. **Criação dos Gráficos:**
   Plotamos os gráficos de $ t $ vs. $ x_1 $ e $ t $ vs. $ y_1 $.

**Passos Detalhados e Implementação:**

1. **Definir as Equações de Antoine:**
   
   $ \ln(P_1^{sat}) = 14.2724 - \frac{2945.47}{t + 224.00} $
   $ \ln(P_2^{sat}) = 14.2043 - \frac{2972.64}{t + 209.00} $

Converter para $ P^{sat} $ em kPa:
   
   $ P_1^{sat} = \exp\left(14.2724 - \frac{2945.47}{t + 224.00}\right) $
   $ P_2^{sat} = \exp\left(14.2043 - \frac{2972.64}{t + 209.00}\right) $

2. **Iteração sobre $ x_1 $ e $ t $:**
   Para cada valor de $ x_1 $ (de 0 a 1 em pequenos incrementos, por exemplo, 0.01), realizar uma busca iterativa para encontrar a temperatura $ t $ que satisfaça:
   
   $ 70 = x_1 \cdot P_1^{sat}(t) + (1 - x_1) \cdot P_2^{sat}(t) $

Isso pode ser feito usando métodos numéricos como o método de Newton-Raphson ou simplesmente iterando sobre valores de $ t $ até que a equação seja satisfeita dentro de uma tolerância aceitável.

3. **Calcular $ y_1 $:**
   
   $ y_1 = \frac{x_1 \cdot P_1^{sat}(t)}{70} $

4. **Plotar os Gráficos:**
   - Gráfico 1: $ t $ vs. $ x_1 $
   - Gráfico 2: $ t $ vs. $ y_1 $

**Exemplo de Implementação (Conceitual):**

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Equações de Antoine
def P1_sat(t):
    return np.exp(14.2724 - 2945.47 / (t + 224.00))

def P2_sat(t):
    return np.exp(14.2043 - 2972.64 / (t + 209.00))

# Pressão total
P_total = 70

# Listas para armazenar os valores
x1_values = np.linspace(0, 1, 101)
t_values = []
y1_values = []

# Iteração sobre x1
for x1 in x1_values:
    # Busca iterativa pela temperatura
    t = 50  # Estimativa inicial
    while True:
        P = x1 * P1_sat(t) + (1 - x1) * P2_sat(t)
        if abs(P - P_total) < 0.01:  # Tolerância
            break
        t += 0.01  # Ajuste da temperatura

# Calcular y1
    y1 = (x1 * P1_sat(t)) / P_total

# Armazenar os valores
    t_values.append(t)
    y1_values.append(y1)

# Plotar os gráficos
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x1_values, t_values)
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('Temperatura (°C)')
plt.title('Temperatura vs x1')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(y1_values, t_values)
plt.xlabel('y1')
plt.ylabel('Temperatura (°C)')
plt.title('Temperatura vs y1')

plt.tight_layout()
plt.show()
```

Este código fornece uma estrutura básica. Para obter resultados precisos, ajuste a tolerância e o incremento da temperatura na busca iterativa. Além disso, considere usar bibliotecas de otimização para encontrar a temperatura de forma mais eficiente.

Este procedimento detalhado permitirá que você crie os gráficos $ t $ vs. $ x_1 $ e $ t $ vs. $ y_1 $ para o sistema acetonitrila/nitrometano a 70 kPa.

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