Podemos listar as transformadas de Laplace inversa para algumas funções, as quais usaremos com mais frequência.

Assim apresentamos uma tabela algumas dessas transformadas inversas:

F(s)

script capital l to the power of negative 1 end exponent open curly brackets F left parenthesis s right parenthesis close curly brackets

1 over s

1

fraction numerator 1 over denominator s minus a end fraction

e to the power of a t end exponent

fraction numerator a over denominator s squared plus a squared end fraction

sin left parenthesis a t right parenthesis

fraction numerator s over denominator s squared plus a squared end fraction

cos left parenthesis a t right parenthesis

fraction numerator n factorial over denominator left parenthesis s minus a right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent end fraction

t to the power of n e to the power of a t end exponent

Considere a função F left parenthesis s right parenthesis equals fraction numerator s over denominator s squared plus 2 s minus 3 end fraction. Assinale a alternativa que corresponde a transformada inversa de Laplace da função F(s)

Escolha uma:
a.
f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of t plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

b.
f left parenthesis t right parenthesis equals 1 half e to the power of t plus 1 fourth e to the power of negative 3 t end exponent

c.
f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of t plus e to the power of negative 3 t end exponent

d.
f left parenthesis t right parenthesis equals e to the power of t plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

e.
f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of negative 2 t end exponent plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

Question

Podemos listar as transformadas de Laplace inversa para algumas funções, as quais usaremos com mais frequência.

Assim apresentamos uma tabela algumas dessas transformadas inversas:

                     F(s)

script capital l to the power of negative 1 end exponent open curly brackets F left parenthesis s right parenthesis close curly brackets                      

                                 1 over s               

1            

                  fraction numerator 1 over denominator s minus a end fraction

 e to the power of a t end exponent                   

              fraction numerator a over denominator s squared plus a squared end fraction  

 sin left parenthesis a t right parenthesis               

                fraction numerator s over denominator s squared plus a squared end fraction

   cos left parenthesis a t right parenthesis             

               fraction numerator n factorial over denominator left parenthesis s minus a right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent end fraction

   t to the power of n e to the power of a t end exponent                

 Considere a função F left parenthesis s right parenthesis equals fraction numerator s over denominator s squared plus 2 s minus 3 end fraction. Assinale a alternativa que corresponde a transformada inversa de Laplace da função F(s)

Escolha uma:
a.
 f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of t plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

b.
 f left parenthesis t right parenthesis equals 1 half e to the power of t plus 1 fourth e to the power of negative 3 t end exponent

c.
 f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of t plus e to the power of negative 3 t end exponent

d.
 f left parenthesis t right parenthesis equals e to the power of t plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

e.
 f left parenthesis t right parenthesis equals 1 fourth e to the power of negative 2 t end exponent plus 3 over 4 e to the power of negative 3 t end exponent

Accepted Answer

Para encontrar a transformada inversa de Laplace da função $ F(s) = \frac{s}{s^2 + 2s - 3} $, primeiro precisamos simplificar o denominador. O denominador $ s^2 + 2s - 3 $ pode ser fatorado como $ (s - 1)(s + 3) $.

Assim, podemos reescrever $ F(s) $ como:

$$ F(s) = \frac{s}{(s - 1)(s + 3)} $$

Usando frações parciais, podemos expressar $ F(s) $ como:

$$ F(s) = \frac{A}{s - 1} + \frac{B}{s + 3} $$

Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s + 3) $ e resolvendo para $ A $ e $ B $, obtemos:

$$ s = A(s + 3) + B(s - 1) $$

Comparando os coeficientes, obtemos o sistema de equações:

1. $ A + B = 1 $
2. $ 3A - B = 0 $

Resolvendo o sistema:

Da equação 2: $ 3A - B = 0 $ implica que $ B = 3A $.

Substituindo na equação 1:

$$ A + 3A = 1 $$
$$ 4A = 1 $$
$$ A = \frac{1}{4} $$

E então:

$$ B = 3A = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

Portanto, $ F(s) $ pode ser escrito como:

$$ F(s) = \frac{1}{4(s - 1)} + \frac{3}{4(s + 3)} $$

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace:

$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4(s - 1)}\right\} = \frac{1}{4}e^{t} $$

$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{4(s + 3)}\right\} = \frac{3}{4}e^{-3t} $$

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:

$$ f(t) = \frac{1}{4}e^{t} + \frac{3}{4}e^{-3t} $$

**Resposta: A**

A alternativa correta é:
$ f(t) = \frac{1}{4}e^{t} + \frac{3}{4}e^{-3t} $

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