Q 44. Cowsidere a reta \( r:(x, y, z)=(1,0,1)+t(1,-1,0) \) e o plawo II \( x+y+z=0 \) a). Verifique per é poralela a II

Para verificar se a reta $r$ é paralela ao plano $\Pi$, precisamos verificar se o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.

A equação da reta é dada por:

$$r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, -1, 0)$$

O vetor diretor da reta é:

$$\vec{d} = (1, -1, 0)$$

A equação do plano $\Pi$ é:

$$x + y + z = 0$$

O vetor normal ao plano $\Pi$ é:

$$\vec{n} = (1, 1, 1)$$

Para que a reta seja paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre $\vec{d}$ e $\vec{n}$ deve ser zero.

Calculando o produto escalar:

$$\vec{d} \cdot \vec{n} = (1, -1, 0) \cdot (1, 1, 1) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 - 1 + 0 = 0$$

Como o produto escalar é zero, isso indica que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano, portanto, a reta $r$ é paralela ao plano $\Pi$.

Resposta: Sim, a reta $r$ é paralela ao plano $\Pi$.