A inspeção de lotes de produtos é uma prática comum em controle de qualidade, onde se utiliza planos de amostragem para determinar se um lote deve ser aceito ou rejeitado. Esses planos consideram a porcentagem de itens defeituosos e aplicam distribuições estatísticas para calcular a probabilidade de aceitação ou rejeição de um lote. A função característica de operação (CCO) é usada para visualizar essas probabilidades em função da fração de defeituosos no lote, permitindo avaliar o risco para o produtor e para o consumidor. Identifique a probabilidade de um lote ser aceito se, em uma amostra de 10 itens (n = 10), o número máximo de defeituosos aceitável for 2 (a=2) , sabendo que a porcentagem de defeituosos no lote é de 15% (p = 0,15). Agora assinale a alternativa correta. Questão 1Resposta A. 0,742 B. 0,897 C. 0,820 D. 0,659 E. 0,967

Para resolver este problema, utilizamos a Distribuição Binomial, que é a ferramenta estatística adequada para calcular a probabilidade de aceitação de lotes quando o tamanho da amostra é pequeno em relação ao lote total. A fórmula da probabilidade binomial é:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Onde:

• $n = 10$ (tamanho da amostra).
• $k$ é o número de itens defeituosos encontrados.
• $p = 0,15$ (probabilidade de um item ser defeituoso).
• $a = 2$ (número máximo de defeituosos para aceitar o lote).

O lote é aceito se o número de defeituosos for $0, 1$ ou $2$. Portanto, a probabilidade de aceitação $P_a$ é:

$$P_a = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$

1. Cálculo para $k=0$:

$$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0,15)^0 \cdot (0,85)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0,19687 \approx 0,1969$$

2. Cálculo para $k=1$:

$$P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot (0,15)^1 \cdot (0,85)^9 = 10 \cdot 0,15 \cdot 0,23162 \approx 0,3474$$

3. Cálculo para $k=2$:

$$P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (0,15)^2 \cdot (0,85)^8 = 45 \cdot 0,0225 \cdot 0,27249 \approx 0,2759$$

4. Soma das probabilidades:

$$P_a = 0,1969 + 0,3474 + 0,2759 = 0,8202$$

Arredondando para três casas decimais, obtemos 0,820.

Análise das Alternativas Incorretas

• A. 0,742: Este valor não corresponde à soma acumulada até $k=2$ para os parâmetros dados. Poderia ser um erro ao considerar apenas $P(X=1) + P(X=2)$ ou erro nos cálculos das potências.
• B. 0,897: Valor superestimado. Geralmente ocorre quando se utiliza uma aproximação inadequada (como a de Poisson em condições não ideais) ou se erra a probabilidade complementar $(1-p)$.
• D. 0,659: Este valor representa a probabilidade de encontrar no máximo 1 defeituoso ($P(X=0) + P(X=1)$), desconsiderando o limite aceitável de 2 defeituosos.
• E. 0,967: Valor excessivamente alto para uma taxa de defeito de 15% em uma amostra de 10. Representaria um cenário onde quase qualquer amostra seria aceita, o que não condiz com $a=2$.

Você conseguiu compreender como a distribuição binomial se aplica ao controle de qualidade ou gostaria de ver o cálculo para um número diferente de defeituosos?