O método da bisseção (ou método da dicotomia) é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções não lineares. Ele se baseia no Teorema do Valor Intermediário, que garante que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo [a,b][a, b][a,b], então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Elaborado pelo professor.

Considere que você está resolvendo um problema de engenharia que envolve encontrar a raiz de uma função no intervalo [2, 3]. Sabendo que a tolerância é , assinale a alternativa correta com o número de iterações necessárias para garantir que a raiz esteja dentro do intervalo desejado:
Alternativas
Alternativa 1:
5.

Alternativa 2:
6.

Alternativa 3:
7.

Alternativa 4:
8.

Alternativa 5:
9.

Question

O método da bisseção (ou método da dicotomia) é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções não lineares. Ele se baseia no Teorema do Valor Intermediário, que garante que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo [a,b][a, b][a,b], então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 
 
Elaborado pelo professor.

Considere que você está resolvendo um problema de engenharia que envolve encontrar a raiz de uma função no intervalo [2, 3]. Sabendo que a tolerância é , assinale a alternativa correta com o número de iterações necessárias para garantir que a raiz esteja dentro do intervalo desejado:
Alternativas
Alternativa 1:
5.

Alternativa 2:
6.

Alternativa 3:
7.

Alternativa 4:
8.

Alternativa 5:
9.

Accepted Answer

Alternativa 3 Para determinar o número mínimo de iterações $n$ no método da bisseção para que o erro seja menor que uma tolerância $\epsilon$, utilizamos a seguinte fórmula baseada na redução sucessiva do intervalo $[a, b]$ pela metade: $$n > \frac{\log(b - a) - \log(\epsilon)}{\log(2)}$$ **1. Identificação dos Parâmetros:** * Intervalo inicial: $[a, b] = [2, 3]$. * Comprimento do intervalo inicial: $L = b - a = 3 - 2 = 1$. * Tolerância ($\epsilon$): Embora o valor numérico da tolerância não tenha aparecido explicitamente no seu texto (parece haver uma omissão após "tolerância é"), as alternativas sugerem um valor padrão para esse tipo de exercício acadêmico. Vamos testar para $\epsilon = 10^{-2}$ ($0,01$): **2. Aplicação da Fórmula:** $$n > \frac{\log(1) - \log(0,01)}{\log(2)}$$ $$n > \frac{0 - (-2)}{\log_{10}(2)}$$ $$n > \frac{2}{0,30103}$$ $$n > 6,64$$ Como $n$ deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é **$n = 7$**. ### Por que as outras alternativas estão incorretas? * **Alternativas 1 e 2 (5 e 6):** Com apenas 5 ou 6 iterações, o erro residual seria $\frac{1}{2^5} \approx 0,03125$ ou $\frac{1}{2^6} \approx 0,01562$, ambos maiores que a tolerância de $0,01$. * **Alternativas 4 e 5 (8 e 9):** Embora 8 ou 9 iterações garantam que a raiz esteja dentro da tolerância, o enunciado geralmente solicita o "número de iterações necessárias" (o mínimo suficiente). Sete iterações é o primeiro valor inteiro que satisfaz a condição de precisão. Você gostaria de ver como o erro diminui passo a passo em uma tabela de iterações para este intervalo?

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