Situações envolvendo o sistema de capitalização a juros compostos utilizam uma função exponencial, em que o tempo se encontra no expoente. Nesses casos, quando são conhecidas as demais variáveis e o objetivo é encontrar o valor do tempo do investimento, é necessário lidar com o logaritmo. Considere que o tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação ert = 2, onde r é a taxa unitária e t é o tempo.

Se um investimento rende a uma taxa de 15% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (anos) ele duplicará?

Q: Situações envolvendo o sistema de capitalização a juros compostos utilizam uma função exponencial, em que o tempo se encontra no expoente. Nesses casos, quando são conhecidas as demais variáveis e o objetivo é encontrar o valor do tempo do investimento, é necessário lidar com o logaritmo. Considere que o tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação ert = 2, onde r é a taxa unitária e t é o tempo. Se um investimento rende a uma taxa de 15% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (anos) ele duplicará?

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o tempo $ t $ que faz com que o investimento dobre de valor. Utilizamos a fórmula da capitalização contínua: \[ e^{rt} = 2 \] onde: - $ r $ é a taxa de juros anual (em forma decimal), - $ t $ é o tempo em anos, - $ e $ é a base do logaritmo natural. Dado que a taxa de juros $ r $ é de 15% ao ano, devemos convertê-la para a forma decimal: \[ r = 0,15 \] Substituímos na equação: \[ e^{0,15t} = 2 \] Para resolver essa equação, aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) dos dois lados: \[ \ln(e^{0,15t}) = \ln(2) \] Utilizando a propriedade do logaritmo $\ln(e^x) = x$, temos: \[ 0,15t = \ln(2) \] Agora, isolamos $ t $: \[ t = \frac{\ln(2)}{0,15} \] Calculando o valor: \[ \ln(2) \approx 0,6931 \] Portanto: \[ t = \frac{0,6931}{0,15} \approx 4,62 \] Assim, o tempo necessário para o investimento duplicar é aproximadamente **4,62 anos**.

Question

Situações envolvendo o sistema de capitalização a juros compostos utilizam uma função exponencial, em que o tempo se encontra no expoente. Nesses casos, quando são conhecidas as demais variáveis e o objetivo é encontrar o valor do tempo do investimento, é necessário lidar com o logaritmo. Considere que o tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação ert = 2, onde r é a taxa unitária e t é o tempo.

Se um investimento rende a uma taxa de 15% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (anos) ele duplicará?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o tempo $ t $ que faz com que o investimento dobre de valor. Utilizamos a fórmula da capitalização contínua:

$$ e^{rt} = 2 $$

onde:
- $ r $ é a taxa de juros anual (em forma decimal),
- $ t $ é o tempo em anos,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.

Dado que a taxa de juros $ r $ é de 15% ao ano, devemos convertê-la para a forma decimal:

$$ r = 0,15 $$

Substituímos na equação:

$$ e^{0,15t} = 2 $$

Para resolver essa equação, aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) dos dois lados:

$$ \ln(e^{0,15t}) = \ln(2) $$

Utilizando a propriedade do logaritmo $\ln(e^x) = x$, temos:

$$ 0,15t = \ln(2) $$

Agora, isolamos $ t $:

$$ t = \frac{\ln(2)}{0,15} $$

Calculando o valor:

$$ \ln(2) \approx 0,6931 $$

Portanto:

$$ t = \frac{0,6931}{0,15} \approx 4,62 $$

Assim, o tempo necessário para o investimento duplicar é aproximadamente **4,62 anos**.

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