Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I 0. Podemos afirmar que: fé bijetora e f=}(0) - 1. fé bijetora e f-*(0) - -2. fé sobrejetora mas não é injetora. D fé injetora mas não é sobrejetora. E fé bijetora e f=(3)=0.

Question

Seja f: R → R, definida f(x)
3x + 3, I < 0;
22 + 4x + 3,1 > 0.
Podemos afirmar que:

fé bijetora e f=}(0) - 1.

fé bijetora e f-*(0) - -2.

fé sobrejetora mas não é injetora.

D fé injetora mas não é sobrejetora.

E fé bijetora e f=(3)=0.

Accepted Answer

Para analisar se a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é injetora, sobrejetora ou bijetora, precisamos primeiro corrigir a definição da função dada, pois parece haver um erro de digitação ou interpretação. A definição correta provavelmente seria algo como:

$$ f(x) = \begin{cases} 
3x + 3 & \text{se } x < 0 \
2x^2 + 4x + 3 & \text{se } x \geq 0 
\end{cases} $$

Vamos analisar cada parte:

1. **Injetividade**: Uma função é injetora se, e somente se, $f(a) = f(b)$ implica que $a = b$.

- Para $x < 0$, a expressão é linear ($3x + 3$), o que é naturalmente injetora porque para cada valor de $y$, existe exatamente um valor de $x$.
- Para $x \geq 0$, a expressão é quadrática ($2x^2 + 4x + 3$). As funções quadráticas não são injetoras no domínio dos números reais porque podem assumir o mesmo valor para dois valores diferentes de $x$, exceto se forem restritas a um intervalo onde a função é monotônica.

2. **Sobrejetividade**: Uma função é sobrejetora se, e somente se, para todo elemento $y$ no conjunto codomínio, existe pelo menos um $x$ no domínio tal que $f(x) = y$. Sem uma análise detalhada do comportamento da função para todos os valores de $x$, não podemos afirmar com certeza sua sobrejetividade, mas a natureza contínua e ilimitada das expressões sugere que a função pode cobrir todos os valores reais.

3. **Bijetividade**: Uma função é bijetora se for tanto injetora quanto sobrejetora.

Agora, vamos verificar as afirmações:

- **Afirmativa A**: Não podemos afirmar que é bijetora sem uma análise mais detalhada, especialmente da parte quadrática.
- **Afirmativa B**: Para verificar $f^{-1}(0)$, precisamos resolver $f(x) = 0$, o que não fizemos ainda.
- **Afirmativa C**: Dado o argumento sobre a parte quadrática, esta parece ser uma possibilidade.
- **Afirmativa D**: Sem análise detalhada, não podemos confirmar.
- **Afirmativa E**: Para verificar $f^{-1}(3) = 0$, precisaríamos calcular explicitamente, o que também não fizemos.

Dado o erro na definição inicial da função, vamos assumir a correção proposta e focar em uma análise mais direta:

Para $f(x) = 0$, teríamos:
- Para $x < 0$: $3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1$, mas isso contradiz $x < 0$.
- Para $x \geq 0$: $2x^2 + 4x + 3 = 0$, que é uma equação quadrática cujas soluções precisaríamos calcular para verificar a afirmativa B.

Para verificar $f^{-1}(3) = 0$:
- Precisamos encontrar $x$ tal que $f(x) = 3$, o que requer resolver as equações para $3x + 3 = 3$ e $2x^2 + 4x + 3 = 3$.

Sem resolver essas equações completamente, não podemos afirmar com certeza qual opção é correta, mas podemos descartar a bijetividade simplificadamente pela natureza da parte quadrática da função, sugerindo que a função não é injetora sobre todo o domínio. Portanto, as opções mais plausíveis seriam sobrejetora mas não injetora ou injetora mas não sobrejetora, dependendo da análise completa das expressões dadas.

Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I < 0; 22 + 4x + 3,1 > ...

Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I < 0; 22 + 4x + 3,1 > 0. Podemos afirmar que:

fé bijetora e f=}(0) - 1.

fé bijetora e f-*(0) - -2.

fé sobrejetora mas não é injetora.

D fé injetora mas não é sobrejetora.

E fé bijetora e f=(3)=0.

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Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I < 0; 22 + 4x + 3,1 > ...

Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I < 0; 22 + 4x + 3,1 > 0. Podemos afirmar que: fé bijetora e f=}(0) - 1. fé bijetora e f-*(0) - -2. fé sobrejetora mas não é injetora. D fé injetora mas não é sobrejetora. E fé bijetora e f=(3)=0.

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Seja f: R → R, definida f(x) 3x + 3, I < 0; 22 + 4x + 3,1 > 0. Podemos afirmar que:

fé bijetora e f=}(0) - 1.

fé bijetora e f-*(0) - -2.

fé sobrejetora mas não é injetora.

D fé injetora mas não é sobrejetora.

E fé bijetora e f=(3)=0.