11.
Seja S = {u, v, w} um conjunto l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d..
a) S1 = {u, u + v, u + v + w}
b) S2 = {u - v, v - w, w - u}
c) S3 = {u + v, u + v + w, w}

12. Prove que o conjunto das matrizes antissimétricas W = {A ∈ Mn(ℝ)|AT = -A} é um subespaço vetorial das matrizes nxn.

13. Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do ℝ³
{x + 2y - 3z = 0
x - 2y + z = 0

Question

11.
Seja S = {u, v, w} um conjunto l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d..
a) S1 = {u, u + v, u + v + w}
b) S2 = {u - v, v - w, w - u}
c) S3 = {u + v, u + v + w, w}

12. Prove que o conjunto das matrizes antissimétricas W = {A ∈ Mn(ℝ)|AT = -A} é um subespaço vetorial das matrizes nxn.

13. Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do ℝ³
{x + 2y - 3z = 0
x - 2y + z = 0

Accepted Answer

Vamos resolver as questões de Álgebra Linear apresentadas:

### Questão 11

Para verificar se os conjuntos são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.), precisamos analisar se existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo.

#### a) $ S_1 = \{u, u+v, u+v+w\} $

Verificamos se existe $ a, b, c $ não todos zero tal que:

$$ a\mathbf{u} + b(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + c(\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{0} $$

Isso resulta em:

$$ (a + b + c)\mathbf{u} + (b + c)\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0} $$

Para que isso seja verdade, temos o sistema:

1. $ a + b + c = 0 $
2. $ b + c = 0 $
3. $ c = 0 $

Da equação 3, $ c = 0 $. Da equação 2, $ b = 0 $. E da equação 1, $ a = 0 $.

Portanto, $ S_1 $ é linearmente independente.

#### b) $ S_2 = \{u-v, v-w, w-u\} $

Verificamos se existe $ a, b, c $ não todos zero tal que:

$$ a(\mathbf{u} - \mathbf{v}) + b(\mathbf{v} - \mathbf{w}) + c(\mathbf{w} - \mathbf{u}) = \mathbf{0} $$

Isso resulta em:

$$ (a - c)\mathbf{u} + (b - a)\mathbf{v} + (c - b)\mathbf{w} = \mathbf{0} $$

Para que isso seja verdade, temos o sistema:

1. $ a - c = 0 $
2. $ b - a = 0 $
3. $ c - b = 0 $

Da equação 1, $ a = c $. Da equação 2, $ b = a $. Da equação 3, $ c = b $.

Assim, $ a = b = c $, mas não necessariamente todos zero, então $ S_2 $ é linearmente dependente.

#### c) $ S_3 = \{u+v, u+v+w, w\} $

Verificamos se existe $ a, b, c $ não todos zero tal que:

$$ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + b(\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}) + c\mathbf{w} = \mathbf{0} $$

Isso resulta em:

$$ (a + b)\mathbf{u} + (a + b)\mathbf{v} + (b + c)\mathbf{w} = \mathbf{0} $$

Para que isso seja verdade, temos o sistema:

1. $ a + b = 0 $
2. $ a + b = 0 $
3. $ b + c = 0 $

Das equações, $ a = -b $ e $ c = -b $, permitindo soluções não triviais com $ a, b, c \neq 0 $.

Portanto, $ S_3 $ é linearmente dependente.

### Questão 12

Conjunto das matrizes antissimétricas $ W = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) | A^T = -A \} $.

Para ser um subespaço vetorial, deve satisfazer:

1. **Fechamento sob adição**: Se $ A, B \in W $, então $ A + B $ também é antissimétrica.
   $$
   (A + B)^T = A^T + B^T = -A - B = -(A + B)
   $$

2. **Fechamento sob multiplicação escalar**: Se $ A \in W $ e $ c \in \mathbb{R} $, então $ cA $ é antissimétrica.
   $$
   (cA)^T = cA^T = c(-A) = -(cA)
   $$

3. **Contém o vetor nulo**: A matriz nula é antissimétrica, pois seu transposto é ela mesma.

Portanto, $ W $ é um subespaço vetorial.

### Questão 13

Conjunto das soluções do sistema linear homogêneo:
$$
\begin{cases}
x + 2y - 3z = 0 \
x - 2y + z = 0
\end{cases}
$$

Para ser um subespaço, deve conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e multiplicação escalar.

O vetor nulo $(0, 0, 0)$ é solução.

Para fechamento sob adição e multiplicação escalar, considere soluções $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$:

1. **Adição**: $(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) - 3(z_1 + z_2) = 0$ e $(x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = 0$.
2. **Multiplicação escalar**: Para $ c \in \mathbb{R} $, $ c(x_1) + 2c(y_1) - 3c(z_1) = 0 $ e $ c(x_1) - 2c(y_1) + c(z_1) = 0 $.

Logo, o conjunto das soluções é um subespaço vetorial de $ \mathbb{R}^3 $.

11. Seja S = {u, v, w} um conjunto l.i. em V. Verifique se o...

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