6. Verifique se as afirmativas abaixo sao falsas ou verdadei...

6. Verifique se as afirmativas abaixo sao falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta. a) Existe uma transforma¸c˜ ao linear T : R4 → R3 que ´e injetora b) Existe uma transforma¸c˜ ao linear T : R3 → P2(R) que ´ e sobrejetora c) Existe uma transforma¸c˜ ao linear T : R2 → P2(R) que ´e bijetora d) Toda aplicaçao T : V → W para a qual formos capazes de comprovar que T(0V) = 0W é linear e) Os espaços V e W s˜ ao isomorfos se existir uma transformaçao linear T : V → W bijetora e dim(V ) < dim(W).

f) A transformaçao T : V → W, s´o ´e linear se Ker(T) = {0V}.

7. Seja w ∈ R2 um vetor n˜ao nulo fixo. A projeçao ortogonal de um vetor arbitrario u ∈R2 na reta que contem o vetor w é dado por projwu = ⟨u,w⟩/⟨w,w⟩w. A função F(u) = projwu é uma transformaçao linear? Justifique sua resposta.

8. Sejam v1,v2,...,vn vetores em um espaço vetorial V e T : V → W uma transformaçao linear. a) Se {T(v1),T(v2),...,T(vn)} ´e linearmente independente em W, prove que {v1,v2,...,vn} ´ e linearmente independente em V . b) Apresente um contraexemplo para mostrar que a recıproca do item (a) ´e falsa, isto é, nao é necessariamente verdade que, se {v1,v2,...,vn} é linearmente independente em V , entao {T(v1),T(v2),...,T(vn)} ´e linearmente independente em W.

9. Seja T um operador linear em um espaço vetorial V para o qual T^2 = T. Mostre que: a) Se w ∈Im(T), entao T(w) = w. b) Se T=I, entao T nao ´ e inversıvel. c) V =Ker(T)⊕Im(T).

10. Sejam α = {(1,1),(0,2)} e β = {(1,2),(2,1)} bases de R2. a) Determine [IR2]^α β. b) Se v =(4,−1), encontre [v]β usando a matriz mudança base.

11. Determine se s˜ ao verdadeiras ou falsas as seguintes proposiçoes. Justifique sua resposta! a) Sejam V um espaço vetorial de dimensao n e T : V → V um operador linear n˜ ao nulo. Se T^3 =T e λ um autovalor de T, entao λ = 0 ou λ = 1 ou λ = −1. b) Se A ´ e uma matriz 3×3 simetrica cujo polinomio caracterıstico ´e P(λ) = (λ − 2)3, entao a dimensao do autoespaço de A é 3. c) Se A um matriz inversıvel e λ um autovalor de A, entao 1/λ é um autovalor de A^−1. d) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se A ´e inversıvel entao λ = 0 é um autovalor de A. e) Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear. Se λ é um numero real tal que λ² é um autovalor de T² associado ao autovetor u, entao λ^4 ´e um autovalor de T^4 associado ao autovetor u.

12. (Valor 1,0) Encontre e classifique os pontos crıticos das funçoes abaixo ` a partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana. a) f(x,y) = x³/3 −2y³ −5x+6y−5 b) f(x,y) = 2x³ −3x²y −12x² −3y2² c) f(x,y) = x^4 +y^4 −4xy +1 d) f(x,y) = 1−x² +4xy −y² e) f(x,y) = xy +2x−ln(x²y)