(a, b) + (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb)

Question

Accepted Answer

Para determinar se o conjunto $\mathbb{R}^2$ com as operações dadas é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Vamos analisar cada axioma:

1. **Fechamento da adição:** Para todo $(a, b), (c, d) \in \mathbb{R}^2$, $(a, b) + (c, d) = (a, b)$ não está em $\mathbb{R}^2$ a menos que $(c, d) = (0, 0)$.

2. **Associatividade da adição:** Para todo $(a, b), (c, d), (e, f) \in \mathbb{R}^2$, $((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a, b) + (e, f) = (a, b)$ e $(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c, d) = (a, b)$. A associatividade não é satisfeita.

3. **Elemento neutro da adição:** Existe um vetor $(0, 0) \in \mathbb{R}^2$ tal que $(a, b) + (0, 0) = (a, b)$, mas pela definição, $(a, b) + (0, 0) = (a, b)$.

4. **Inverso aditivo:** Para cada $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, deve existir $(-a, -b) \in \mathbb{R}^2$ tal que $(a, b) + (-a, -b) = (a, b)$, mas isso não é verdade pela operação dada.

5. **Comutatividade da adição:** Para todo $(a, b), (c, d) \in \mathbb{R}^2$, $(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$, mas $(a, b) + (c, d) = (a, b)$ e $(c, d) + (a, b) = (c, d)$.

6. **Fechamento da multiplicação por escalar:** Para todo $\alpha \in \mathbb{R}$ e $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, $\alpha(a, b) = (\alpha a, \alpha b) \in \mathbb{R}^2$.

7. **Distributividade do produto escalar sobre a soma de vetores:** Para todo $\alpha \in \mathbb{R}$ e $(a, b), (c, d) \in \mathbb{R}^2$, $\alpha((a, b) + (c, d)) = \alpha(a, b)$.

8. **Distributividade do produto escalar sobre a soma de escalares:** Para todo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ e $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, $(\alpha + \beta)(a, b) = (\alpha a + \beta a, \alpha b + \beta b)$.

9. **Associatividade do produto escalar:** Para todo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ e $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, $\alpha(\beta(a, b)) = (\alpha \beta a, \alpha \beta b)$.

10. **Elemento neutro do produto escalar:** Existe $1 \in \mathbb{R}$ tal que $1(a, b) = (a, b)$.

Neste caso, o conjunto não satisfaz os axiomas de fechamento da adição, associatividade da adição, elemento neutro da adição, inverso aditivo e comutatividade da adição. Portanto, $\mathbb{R}^2$ com as operações dadas não é um espaço vetorial.

(a, b) + (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb)

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