Seja a reta r dada pela equação ax + by - 14 = 0. Sabe que os pontos A (2, 1) e B (- 1,3) pertencem a reta. Determine o valor de a + b, com a e b reais.
L
Luiza
24/02/24

Q: Seja a reta r dada pela equação ax + by - 14 = 0. Sabe que os pontos A (2, 1) e B (- 1,3) pertencem a reta. Determine o valor de a + b, com a e b reais.

Para determinar o valor de $a + b$, com $a$ e $b$ reais, dado que a reta $r$ é definida pela equação $ax + by - 14 = 0$ e os pontos $A(2, 1)$ e $B(-1, 3)$ pertencem a essa reta, podemos seguir os seguintes passos: 1. Substituir as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ na equação da reta para obter um sistema de equações. 2. Resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $a$ e $b$. 3. Somar $a + b$. **Passo 1: Substituir as coordenadas dos pontos na equação da reta** Para o ponto $A(2, 1)$, temos: \[a(2) + b(1) - 14 = 0\] \[2a + b - 14 = 0 \quad \text{(Equação 1)}\] Para o ponto $B(-1, 3)$, temos: \[a(-1) + b(3) - 14 = 0\] \[-a + 3b - 14 = 0 \quad \text{(Equação 2)}\] **Passo 2: Resolver o sistema de equações** Temos então o sistema: \[ \begin{align*} 2a + b &= 14\\ -a + 3b &= 14 \end{align*} \] Podemos resolver esse sistema pelo método de substituição ou eliminação. Aqui, usaremos o método de eliminação. Multiplicando a primeira equação por $3$ e a segunda por $1$, para igualar os coeficientes de $b$, temos: \[ \begin{align*} 6a + 3b &= 42\\ -a + 3b &= 14 \end{align*} \] Subtraindo a segunda equação da primeira: \[ 6a + a = 42 - 14 \] \[ 7a = 28 \] \[ a = 4 \] Substituindo $a = 4$ em uma das equações originais, por exemplo, na primeira: \[ 2(4) + b = 14 \] \[ 8 + b = 14 \] \[ b = 6 \] **Passo 3: Somar $a + b$** Tendo $a = 4$ e $b = 6$, somamos: \[a + b = 4 + 6 = 10\] Portanto, $a + b = 10$.

Question

Seja a reta r dada pela equação ax + by - 14 = 0. Sabe que os pontos A (2, 1) e B (- 1,3) pertencem a reta. Determine o valor de a + b, com a e b reais.

Accepted Answer

Para determinar o valor de $a + b$, com $a$ e $b$ reais, dado que a reta $r$ é definida pela equação $ax + by - 14 = 0$ e os pontos $A(2, 1)$ e $B(-1, 3)$ pertencem a essa reta, podemos seguir os seguintes passos:

1. Substituir as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ na equação da reta para obter um sistema de equações.
2. Resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $a$ e $b$.
3. Somar $a + b$.

**Passo 1: Substituir as coordenadas dos pontos na equação da reta**

Para o ponto $A(2, 1)$, temos:
$$a(2) + b(1) - 14 = 0$$
$$2a + b - 14 = 0 \quad \text{(Equação 1)}$$

Para o ponto $B(-1, 3)$, temos:
$$a(-1) + b(3) - 14 = 0$$
$$-a + 3b - 14 = 0 \quad \text{(Equação 2)}$$

**Passo 2: Resolver o sistema de equações**

Temos então o sistema:
$$
\begin{align*}
2a + b &= 14\
-a + 3b &= 14
\end{align*}
$$

Podemos resolver esse sistema pelo método de substituição ou eliminação. Aqui, usaremos o método de eliminação.

Multiplicando a primeira equação por $3$ e a segunda por $1$, para igualar os coeficientes de $b$, temos:
$$
\begin{align*}
6a + 3b &= 42\
-a + 3b &= 14
\end{align*}
$$

Subtraindo a segunda equação da primeira:
$$
6a + a = 42 - 14
$$
$$
7a = 28
$$
$$
a = 4
$$

Substituindo $a = 4$ em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:
$$
2(4) + b = 14
$$
$$
8 + b = 14
$$
$$
b = 6
$$

**Passo 3: Somar $a + b$**

Tendo $a = 4$ e $b = 6$, somamos:
$$a + b = 4 + 6 = 10$$

Portanto, $a + b = 10$.

Seja a reta r dada pela equação ax + by - 14 = 0. Sabe que os pontos A (2, 1) e B (- 1,3) pertencem a reta. Determine o valor de a + b, com a e b reais.

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