Unicamp - 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A = [1 2; 0 1] satisfaz a equação A² = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.
e) 5.

Q: Unicamp - 2018 Sejam a e b números reais tais que a matriz A = [1 2; 0 1] satisfaz a equação A² = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a a) -2. b) -1. c) 1. d) 2. e) 5.

Vamos resolver a questão. A matriz $ A $ é definida como: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] A equação fornecida é: \[ A^2 = aA + bI, \] onde $ I $ é a matriz identidade de ordem 2: \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] ### Passo 1: Calcular $ A^2 $ Multiplicamos $ A $ por ela mesma: \[ A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Realizando a multiplicação: \[ A^2 = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(0) & (1)(2) + (2)(1) \\ (0)(1) + (1)(0) & (0)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Logo, temos: \[ A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] --- ### Passo 2: Escrever $ aA + bI $ Substituímos as expressões de $ A $ e $ I $ na equação $ aA + bI $: \[ aA + bI = a \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Realizamos a soma das matrizes: \[ aA + bI = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 0 & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \\ 0 & a+b \end{bmatrix}. \] --- ### Passo 3: Igualar $ A^2 $ a $ aA + bI $ Agora igualamos as duas matrizes: \[ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \\ 0 & a+b \end{bmatrix}. \] Comparando os elementos correspondentes: 1. Da posição (1,1): $ a + b = 1 $, 2. Da posição (1,2): $ 2a = 4 $, 3. Da posição (2,1): $ 0 = 0 $ (satisfeita automaticamente), 4. Da posição (2,2): $ a + b = 1 $ (repetida da posição (1,1)). --- ### Passo 4: Resolver o sistema Da equação $ 2a = 4 $, temos: \[ a = 2. \] Substituímos $ a = 2 $ em $ a + b = 1 $: \[ 2 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -1. \] --- ### Passo 5: Calcular $ ab $ Agora calculamos o produto $ ab $: \[ ab = (2)(-1) = -2. \] --- **Resposta: a) -2.**

Question

Unicamp - 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A = [1 2; 0 1] satisfaz a equação A² = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.
e) 5.

Accepted Answer

Vamos resolver a questão.

A matriz $ A $ é definida como:

$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

A equação fornecida é:

$$
A^2 = aA + bI,
$$

onde $ I $ é a matriz identidade de ordem 2:

$$
I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

### Passo 1: Calcular $ A^2 $
Multiplicamos $ A $ por ela mesma:

$$
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

Realizando a multiplicação:

$$
A^2 = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(0) & (1)(2) + (2)(1) \ (0)(1) + (1)(0) & (0)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

Logo, temos:

$$
A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

---

### Passo 2: Escrever $ aA + bI $
Substituímos as expressões de $ A $ e $ I $ na equação $ aA + bI $:

$$
aA + bI = a \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

Realizamos a soma das matrizes:

$$
aA + bI = \begin{bmatrix} a & 2a \ 0 & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & 0 \ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \ 0 & a+b \end{bmatrix}.
$$

---

### Passo 3: Igualar $ A^2 $ a $ aA + bI $
Agora igualamos as duas matrizes:

$$
\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \ 0 & a+b \end{bmatrix}.
$$

Comparando os elementos correspondentes:

1. Da posição (1,1): $ a + b = 1 $,
2. Da posição (1,2): $ 2a = 4 $,
3. Da posição (2,1): $ 0 = 0 $ (satisfeita automaticamente),
4. Da posição (2,2): $ a + b = 1 $ (repetida da posição (1,1)).

---

### Passo 4: Resolver o sistema
Da equação $ 2a = 4 $, temos:

$$
a = 2.
$$

Substituímos $ a = 2 $ em $ a + b = 1 $:

$$
2 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -1.
$$

---

### Passo 5: Calcular $ ab $
Agora calculamos o produto $ ab $:

$$
ab = (2)(-1) = -2.
$$

---

**Resposta: a) -2.**

Unicamp - 2018 Sejam a e b números reais tais que a matriz ...

Unicamp - 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A = [1 2; 0 1] satisfaz a equação A² = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) -2. b) -1. c) 1. d) 2. e) 5.

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