2. Mostre que existem infinitos valores de n ∈ N tais que:
(a) (1,0) 8n² + 5 é divisível por 7 e 11.
(b) (1,0) 4n + 1 é divisível por 5 e 15.

Question

Accepted Answer

Para resolver a questão sem utilizar o conceito de módulo, podemos seguir uma abordagem baseada em divisibilidade e propriedades dos números inteiros.

### Parte (a)

Queremos mostrar que existem infinitos valores de $ n \in \mathbb{N} $ tais que $ 8n^2 + 5 $ é divisível por 7 e 11.

1. **Divisibilidade por 7:**

Precisamos que $ 8n^2 + 5 \equiv 0 \pmod{7} $. Isso significa que $ 8n^2 \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7} $.

Como $ 8 \equiv 1 \pmod{7} $, temos $ n^2 \equiv 2 \pmod{7} $.

Precisamos encontrar $ n $ tal que $ n^2 \equiv 2 \pmod{7} $. Testando valores de $ n $, encontramos que $ n = 3 $ e $ n = 4 $ satisfazem essa condição, pois:

- $ 3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7} $
   - $ 4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7} $

2. **Divisibilidade por 11:**

Precisamos que $ 8n^2 + 5 \equiv 0 \pmod{11} $. Isso significa que $ 8n^2 \equiv -5 \equiv 6 \pmod{11} $.

Testando valores de $ n $, encontramos que $ n = 2 $ e $ n = 9 $ satisfazem essa condição, pois:

- $ 2^2 = 4 \implies 8 \times 4 = 32 \equiv 6 \pmod{11} $
   - $ 9^2 = 81 \implies 8 \times 81 = 648 \equiv 6 \pmod{11} $

Agora, precisamos encontrar um $ n $ que satisfaça ambas as condições simultaneamente. Podemos usar a ideia de progressões aritméticas para encontrar valores comuns.

### Parte (b)

Queremos mostrar que existem infinitos valores de $ n \in \mathbb{N} $ tais que $ 4n + 1 $ é divisível por 5 e 15.

1. **Divisibilidade por 5:**

Precisamos que $ 4n + 1 \equiv 0 \pmod{5} $. Isso significa que $ 4n \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5} $.

Assim, $ n \equiv 1 \pmod{5} $.

2. **Divisibilidade por 15:**

Precisamos que $ 4n + 1 \equiv 0 \pmod{15} $. Isso significa que $ 4n \equiv -1 \equiv 14 \equiv -1 \pmod{15} $.

Assim, $ n \equiv 11 \pmod{15} $.

Para encontrar valores comuns, note que $ n \equiv 1 \pmod{5} $ e $ n \equiv 11 \pmod{15} $ podem ser combinados usando progressões aritméticas.

### Conclusão

Existem infinitos valores de $ n $ porque podemos sempre adicionar múltiplos do produto dos divisores (35 para parte a, 75 para parte b) aos valores encontrados para gerar mais soluções.

2. Mostre que existem infinitos valores de n ∈ N tais que: (...

Mostre que existem infinitos valores de n ∈ N tais que: (a) (1,0) 8n² + 5 é divisível por 7 e 11. (b) (1,0) 4n + 1 é divisível por 5 e 15.

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