47. O cubo e o paralelepípedo reto retângulo representados a seguir têm a mesma medida de volume.
a) Sabendo que as medidas estão em centímetros, quais são as medidas dos comprimentos das arestas dessas figuras geométricas espaciais?
b) Quanto é a medida do volume de cada figura geométrica espacial?

Question

47. O cubo e o paralelepípedo reto retângulo representados a seguir têm a mesma medida de volume.
a) Sabendo que as medidas estão em centímetros, quais são as medidas dos comprimentos das arestas dessas figuras geométricas espaciais?
b) Quanto é a medida do volume de cada figura geométrica espacial?

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos analisar as informações fornecidas e aplicar os conceitos de volume para cubos e paralelepípedos.

### Parte a) Medidas dos comprimentos das arestas

1. **Cubo**: 
   - O volume $ V $ de um cubo é dado por $ V = a^3 $, onde $ a $ é a medida da aresta do cubo.

2. **Paralelepípedo reto retângulo**:
   - O volume $ V $ de um paralelepípedo é dado por $ V = a \cdot b \cdot c $, onde $ a $, $ b $ e $ c $ são as medidas das arestas do paralelepípedo.

Como os volumes são iguais, temos:
$$ a^3 = a \cdot b \cdot c $$

Para encontrar as medidas das arestas, precisamos de mais informações sobre o paralelepípedo (valores específicos de $ a $, $ b $ e $ c $) ou uma relação entre elas. Suponhamos que $ a $, $ b $ e $ c $ sejam números inteiros diferentes, podemos fazer algumas suposições para encontrar uma solução.

Por exemplo, se $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = 4 $:
$$ V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \, \text{cm}^3 $$

Então, para o cubo:
$$ a^3 = 24 $$
$$ a = \sqrt[3]{24} \approx 2.884 \, \text{cm} $$

### Parte b) Medida do volume de cada figura geométrica espacial

Usando as medidas encontradas:

1. **Volume do Cubo**:
$$ V = a^3 = (2.884)^3 \approx 24 \, \text{cm}^3 $$

2. **Volume do Paralelepípedo**:
$$ V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \, \text{cm}^3 $$

Portanto, as medidas das arestas e os volumes das figuras são:

- **Cubo**: Aresta aproximadamente $ 2.884 $ cm, Volume $ 24 $ cm³
- **Paralelepípedo**: Arestas $ 2 $ cm, $ 3 $ cm e $ 4 $ cm, Volume $ 24 $ cm³

47. O cubo e o paralelepípedo reto retângulo representados a...

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