A tela de um quadrado retangular mede 50cm e 30cm. Nessa tela, foi colocada uma moldura de largura x, calcule x sabendo que o quadrado todo passou a ocupar uma área de 2400cm2

Question

A tela de um quadrado retangular mede 50cm  e 30cm. Nessa tela, foi colocada uma moldura de largura x, calcule x sabendo que o quadrado todo passou a ocupar uma área de 2400cm2

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Primeiro, vamos determinar a área da tela original sem a moldura:
   $$
   \text{Área original} = 50 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm} = 1500 \, \text{cm}^2
   $$

2. A área total do quadrado com a moldura é dada como 2400 cm².

3. Vamos chamar a largura da moldura de $ x $. Assim, as novas dimensões do quadrado com a moldura serão:
   $$
   (50 + 2x) \, \text{cm} \quad \text{e} \quad (30 + 2x) \, \text{cm}
   $$

4. A área total com a moldura é:
   $$
   (50 + 2x)(30 + 2x) = 2400 \, \text{cm}^2
   $$

5. Expandindo e simplificando a equação:
   $$
   50 \times 30 + 50 \times 2x + 30 \times 2x + 4x^2 = 2400
   $$
   $$
   1500 + 100x + 60x + 4x^2 = 2400
   $$
   $$
   1500 + 160x + 4x^2 = 2400
   $$

6. Subtraindo 2400 de ambos os lados para igualar a zero:
   $$
   4x^2 + 160x + 1500 - 2400 = 0
   $$
   $$
   4x^2 + 160x - 900 = 0
   $$

7. Simplificando a equação dividindo todos os termos por 4:
   $$
   x^2 + 40x - 225 = 0
   $$

8. Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   onde $ a = 1 $, $ b = 40 $ e $ c = -225 $.

9. Calculando o discriminante ($ \Delta $):
   $$
   \Delta = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225)
   $$
   $$
   \Delta = 1600 + 900 = 2500
   $$

10. Calculando as raízes:
    $$
    x = \frac{-40 \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1}
    $$
    $$
    x = \frac{-40 \pm 50}{2}
    $$

11. As duas possíveis soluções são:
    $$
    x = \frac{-40 + 50}{2} = \frac{10}{2} = 5
    $$
    $$
    x = \frac{-40 - 50}{2} = \frac{-90}{2} = -45
    $$

12. Como a largura $ x $ não pode ser negativa, descartamos $ x = -45 $.

Portanto, a largura da moldura é:
$$
x = 5 \, \text{cm}
$$

A tela de um quadrado retangular mede 50cm e 30cm. Nessa te...

A tela de um quadrado retangular mede 50cm e 30cm. Nessa tela, foi colocada uma moldura de largura x, calcule x sabendo que o quadrado todo passou a ocupar uma área de 2400cm2

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