Considere que a função ƒ : [4, +∞[→ [−3, 7] seja periódica com período 6 e seja estritamente crescente no intervalo [4, 10]. Logo, podemos afirmar que:
A
ƒ(10) = ƒ(25) e ƒ(4)

Question

Considere que a função ƒ : [4, +∞[→ [−3, 7] seja periódica com período 6 e seja estritamente crescente no intervalo [4, 10]. Logo, podemos afirmar que:
A
ƒ(10) = ƒ(25) e ƒ(4) < ƒ(8)
B
ƒ(12) = ƒ(24) e ƒ(15) < ƒ(16)
C
ƒ(15) = ƒ(21) e ƒ(21) < ƒ(22)
D
ƒ(18) = ƒ(24) e ƒ(28) < ƒ(27)
E
ƒ(20) = ƒ(11) e ƒ(24) < ƒ(25)

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas e aplicá-las às opções:

1. A função $f$ é periódica com período 6. Isso significa que $f(x) = f(x + 6n)$ para qualquer inteiro $n$.
2. A função é estritamente crescente no intervalo $[4, 10]$. Isso significa que se $x_1 < x_2$ e ambos estão no intervalo $[4, 10]$, então $f(x_1) < f(x_2)$.

Agora, vamos analisar cada opção:

A) $ƒ(10) = ƒ(25)$ e $ƒ(4) < ƒ(8)$

- $ƒ(10) = ƒ(25)$ é verdadeiro, pois $25 = 10 + 15$, e $15$ é um múltiplo de $6$, o período da função.
- $ƒ(4) < ƒ(8)$ também deve ser verdadeiro, pois a função é estritamente crescente no intervalo $[4, 10]$.

B) $ƒ(12) = ƒ(24)$ e $ƒ(15) < ƒ(16)$

- $ƒ(12) = ƒ(24)$ é verdadeiro, pois $24 = 12 + 12$, e $12$ é um múltiplo de $6$.
- $ƒ(15) < ƒ(16)$ não podemos afirmar com certeza sem mais informações sobre o comportamento da função fora do intervalo $[4, 10]$, mas considerando que a função é periódica, o comportamento entre $15$ e $16$ seria o mesmo que entre $9$ e $10$, onde a função ainda seria crescente. Portanto, esta afirmação parece plausível.

C) $ƒ(15) = ƒ(21)$ e $ƒ(21) < ƒ(22)$

- $ƒ(15) = ƒ(21)$ é verdadeiro, pois $21 = 15 + 6$, e $6$ é o período da função.
- $ƒ(21) < ƒ(22)$ novamente, não podemos afirmar com certeza sem mais informações, mas seguindo a lógica periódica, seria equivalente a comparar $ƒ(3)$ com $ƒ(4)$, o que está fora do domínio inicial dado, tornando essa comparação inválida neste contexto.

D) $ƒ(18) = ƒ(24)$ e $ƒ(28) < ƒ(27)$

- $ƒ(18) = ƒ(24)$ é verdadeiro, pois $24 = 18 + 6$.
- $ƒ(28) < ƒ(27)$ contradiz a ideia de que a função é estritamente crescente em qualquer segmento de seu período, especialmente considerando que $27$ e $28$ estariam dentro do mesmo ciclo periódico de crescimento. Portanto, esta opção é incorreta.

E) $ƒ(20) = ƒ(11)$ e $ƒ(24) < ƒ(25)$

- $ƒ(20) = ƒ(11)$ é falso, pois a periodicidade implica que $f(x) = f(x + 6n)$, e $11$ não é $20$ menos um múltiplo de $6$.
- $ƒ(24) < ƒ(25)$ poderia ser verdadeiro considerando a periodicidade e o fato de que $25$ é equivalente a $1$ mais que $24$, mas a primeira parte da opção é falsa.

Portanto, a opção correta é a **A)**, pois ambas as afirmações são consistentes com as propriedades dadas da função $f$.

Considere que a função ƒ : [4, +∞[→ [−3, 7] seja periódica c...

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