determine o cosseno do maior ângulo agudo de um triângulo retângulo cuja perímetro é igual a 60 cm e cuja hipotenusa mede 26 cm

Question

Accepted Answer

Para determinar o cosseno do maior ângulo agudo de um triângulo retângulo, precisamos primeiro encontrar os comprimentos dos outros dois lados do triângulo. Sabemos que o perímetro do triângulo é 60 cm e a hipotenusa mede 26 cm.

Vamos denotar os catetos como $a$ e $b$. Assim, temos:

$$ a + b + 26 = 60 $$

$$ a + b = 34 $$

Além disso, pelo teorema de Pitágoras, sabemos que:

$$ a^2 + b^2 = 26^2 = 676 $$

Agora, temos um sistema de equações:

1. $ a + b = 34 $
2. $ a^2 + b^2 = 676 $

Podemos resolver esse sistema substituindo $b = 34 - a$ na segunda equação:

$$ a^2 + (34 - a)^2 = 676 $$

Expansão da equação:

$$ a^2 + (34^2 - 2 \times 34 \times a + a^2) = 676 $$

$$ a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676 $$

$$ 2a^2 - 68a + 1156 = 676 $$

Simplificando, subtraímos 676 de ambos os lados:

$$ 2a^2 - 68a + 480 = 0 $$

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:

$$ a^2 - 34a + 240 = 0 $$

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Onde $b = -34$, $a = 1$, e $c = 240$:

$$ a = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \times 1 \times 240}}{2} $$

$$ a = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{2} $$

$$ a = \frac{34 \pm \sqrt{196}}{2} $$

$$ a = \frac{34 \pm 14}{2} $$

Assim, temos duas soluções para $a$:

$$ a = \frac{48}{2} = 24 $$

$$ a = \frac{20}{2} = 10 $$

Portanto, os valores possíveis para $a$ e $b$ são 24 e 10. O maior ângulo agudo está oposto ao maior cateto, que é 24.

O cosseno do maior ângulo agudo é dado por:

$$ \cos(\theta) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{10}{26} $$

Assim, o cosseno do maior ângulo agudo é:

$$
\cos(\theta) = \frac{5}{13}
$$

determine o cosseno do maior ângulo agudo de um triângulo re...

determine o cosseno do maior ângulo agudo de um triângulo retângulo cuja perímetro é igual a 60 cm e cuja hipotenusa mede 26 cm

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