EDO's de segunda ordem passa a passo

Question

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem passo a passo.

Vamos considerar a EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes:

$$ a y'' + b y' + c y = 0 $$

onde $ a, b $ e $ c $ são constantes.

### Passo 1: Escrever a equação característica

Para resolver essa EDO, primeiro escrevemos a equação característica associada:

$$ a r^2 + b r + c = 0 $$

### Passo 2: Resolver a equação característica

A solução da equação característica depende das raízes da equação quadrática. Existem três casos principais:

#### Caso 1: Raízes reais e distintas ($ \Delta > 0 $)

Se o discriminante ($ \Delta = b^2 - 4ac $) for positivo, teremos duas raízes reais e distintas $ r_1 $ e $ r_2 $:

$$ r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

A solução geral da EDO será:

$$ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} $$

#### Caso 2: Raízes reais e iguais ($ \Delta = 0 $)

Se o discriminante for zero, teremos uma raiz real dupla $ r $:

$$ r = \frac{-b}{2a} $$

A solução geral da EDO será:

$$ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t} $$

#### Caso 3: Raízes complexas ($ \Delta < 0 $)

Se o discriminante for negativo, teremos duas raízes complexas conjugadas $ r_1 $ e $ r_2 $:

$$ r_{1,2} = \alpha \pm \beta i $$

onde $ \alpha = \frac{-b}{2a} $ e $ \beta = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} $.

A solução geral da EDO será:

$$ y(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) $$

### Exemplo

Vamos resolver a seguinte EDO:

$$ y'' - 3y' + 2y = 0 $$

#### Passo 1: Escrever a equação característica

$$ r^2 - 3r + 2 = 0 $$

#### Passo 2: Resolver a equação característica

Resolvendo a equação quadrática:

$$ r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} $$

Temos duas raízes reais e distintas:

$$ r_1 = 2 $$
$$ r_2 = 1 $$

#### Passo 3: Escrever a solução geral

A solução geral da EDO é:

$$ y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{t} $$

E pronto! Resolvemos uma EDO de segunda ordem passo a passo. Se tiver mais alguma dúvida ou precisar de um exemplo específico, estou à disposição!