Em um ambiente educacional, existe um corpo docente composto por seis profissionais dedicados à disciplina de matemática, cinco à área de fíica e tres à de química. a) Determine o número de grupos de trabalho compostos por quatro indivíduos que podem ser formados a partir desses educadores. b) Qual é a quantidade de equipes formadas por quatro professores, excluindo qualquer representante da disciplina de química?. c) Calcule o número de comitês compostos por sete professores que podem ser criados dentre esses 14 educadores, levando em consideração que pelo menos cinco deles devem ser especialistas em matemática.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema separadamente.

a) **Número de grupos de trabalho compostos por quatro indivíduos:**

Para formar grupos de quatro indivíduos a partir dos 14 educadores (6 de matemática, 5 de física e 3 de química), podemos usar a combinação:

$$
\binom{14}{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001
$$

Portanto, o número de grupos de trabalho possíveis é 1001.

b) **Equipes formadas por quatro professores, excluindo qualquer representante da disciplina de química:**

Se excluirmos os professores de química, restam 11 educadores (6 de matemática e 5 de física). O número de combinações possíveis para formar grupos de quatro professores é:

$$
\binom{11}{4} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330
$$

Portanto, há 330 equipes possíveis sem nenhum professor de química.

c) **Comitês compostos por sete professores, com pelo menos cinco especialistas em matemática:**

Primeiro, calculamos os casos possíveis:

1. **Cinco matemáticos e dois não matemáticos:**
   - Escolher 5 de 6 matemáticos: $\binom{6}{5} = 6$
   - Escolher 2 de 8 não matemáticos (5 de física + 3 de química): $\binom{8}{2} = 28$

Total para este caso: $6 \times 28 = 168$

2. **Seis matemáticos e um não matemático:**
   - Escolher 6 de 6 matemáticos: $\binom{6}{6} = 1$
   - Escolher 1 de 8 não matemáticos: $\binom{8}{1} = 8$

Total para este caso: $1 \times 8 = 8$

Somando os casos: $168 + 8 = 176$

Portanto, o número de comitês possíveis é 176.

Em um ambiente educacional, existe um corpo docente composto...

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