Livro 4 | Frente 1 | Capitulo 13
35. 2022 A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $ \frac{1}{2} $.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
(a) $ \frac{35}{64} $
(d) $ \frac{44}{64} $
(b) $ \frac{40}{64} $
(e) $ \frac{52}{64} $
(c) $ \frac{42}{64} $

Q: Livro 4 | Frente 1 | Capitulo 13 35. 2022 A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $ \frac{1}{2} $. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series? (a) $ \frac{35}{64} $ (d) $ \frac{44}{64} $ (b) $ \frac{40}{64} $ (e) $ \frac{52}{64} $ (c) $ \frac{42}{64} $

**Resposta: (c) $ \frac{42}{64} $** Vamos calcular a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series. Denotamos este time como $ A $ e o outro time como $ B $. Para que o time $ A $ seja campeão, ele precisa vencer 4 das próximas 6 partidas. Podemos utilizar a fórmula da binomial para calcular a probabilidade de $ A $ vencer exatamente $ k $ partidas em $ n $ jogos, onde $ n = 6 $ e $ k $ varia de 3 a 6 (pois $ A $ já venceu a primeira partida). A fórmula da distribuição binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde $ p = \frac{1}{2} $. Então, precisamos somar as probabilidades de $ A $ vencer 3, 4, 5 ou 6 das próximas 6 partidas. \[ P(A \text{ vence}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \] Calculando cada termo: \[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} \] \[ P(X = 4) = \binom{6}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \binom{6}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \] \[ P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64} \] \[ P(X = 6) = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \] Somando todas essas probabilidades: \[ P(A \text{ vence}) = \frac{20}{64} + \frac{15}{64} + \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{42}{64} \] Portanto, a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series é $ \frac{42}{64} $.

Question

Livro 4 | Frente 1 | Capitulo 13
35. 2022 A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $ \frac{1}{2} $.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
(a) $ \frac{35}{64} $
(d) $ \frac{44}{64} $
(b) $ \frac{40}{64} $
(e) $ \frac{52}{64} $
(c) $ \frac{42}{64} $

Accepted Answer

**Resposta: (c) $ \frac{42}{64} $**

Vamos calcular a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series. Denotamos este time como $ A $ e o outro time como $ B $.

Para que o time $ A $ seja campeão, ele precisa vencer 4 das próximas 6 partidas. Podemos utilizar a fórmula da binomial para calcular a probabilidade de $ A $ vencer exatamente $ k $ partidas em $ n $ jogos, onde $ n = 6 $ e $ k $ varia de 3 a 6 (pois $ A $ já venceu a primeira partida).

A fórmula da distribuição binomial é:

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

onde $ p = \frac{1}{2} $. Então, precisamos somar as probabilidades de $ A $ vencer 3, 4, 5 ou 6 das próximas 6 partidas.

$$
P(A \text{ vence}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
$$

Calculando cada termo:

$$
P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}
$$

$$
P(X = 4) = \binom{6}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \binom{6}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}
$$

$$
P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}
$$

$$
P(X = 6) = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}
$$

Somando todas essas probabilidades:

$$
P(A \text{ vence}) = \frac{20}{64} + \frac{15}{64} + \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{42}{64}
$$

Portanto, a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series é $ \frac{42}{64} $.