Num paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos são os pontos A(2, 3) * eB(6, 4) Seja M(1, 2) o ponto de encontro das diagonais AC eBD do paralelogramo. Sabendo que as diagonais no paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices CeD desse paralelogramo. Resp (0, - 7) * e(- 4, - 8)

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos utilizar a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. Isso significa que o ponto de encontro das diagonais é o ponto médio de cada uma das diagonais.

Vamos considerar as coordenadas dos vértices $ C $ e $ D $ como $ C(x_1, y_1) $ e $ D(x_2, y_2) $.

Como o ponto $ M(1, 2) $ é o ponto médio das diagonais $ AC $ e $ BD $, podemos escrever as seguintes equações:

1. Para a diagonal $ AC $:
$$ M = \left(\frac{2 + x_1}{2}, \frac{3 + y_1}{2}\right) $$

Igualando isso às coordenadas de $ M $:
$$ \left(\frac{2 + x_1}{2}, \frac{3 + y_1}{2}\right) = (1, 2) $$

Isso nos dá duas equações:
$$ \frac{2 + x_1}{2} = 1 $$
$$ \frac{3 + y_1}{2} = 2 $$

Resolvendo essas equações:
$$ 2 + x_1 = 2 \cdot 1 $$
$$ x_1 = 0 $$

$$ 3 + y_1 = 2 \cdot 2 $$
$$ y_1 = 4 - 3 $$
$$ y_1 = -1 $$

Portanto, as coordenadas de $ C $ são $ (0, -1) $.

2. Para a diagonal $ BD $:
$$ M = \left(\frac{6 + x_2}{2}, \frac{4 + y_2}{2}\right) $$

Igualando isso às coordenadas de $ M $:
$$ \left(\frac{6 + x_2}{2}, \frac{4 + y_2}{2}\right) = (1, 2) $$

Isso nos dá duas equações:
$$ \frac{6 + x_2}{2} = 1 $$
$$ \frac{4 + y_2}{2} = 2 $$

Resolvendo essas equações:
$$ 6 + x_2 = 2 \cdot 1 $$
$$ x_2 = 2 - 6 $$
$$ x_2 = -4 $$

$$ 4 + y_2 = 2 \cdot 2 $$
$$ y_2 = 4 - 4 $$
$$ y_2 = 0 $$

Portanto, as coordenadas de $ D $ são $ (-4, 0) $.

No entanto, observe que há uma inconsistência com a resposta fornecida na pergunta. Vamos verificar novamente:

Revisando os cálculos, parece que houve um erro inicial. Vamos corrigir:

Para $ C $:
$$ \frac{2 + x_1}{2} = 1 \implies 2 + x_1 = 2 \implies x_1 = 0 $$
$$ \frac{3 + y_1}{2} = 2 \implies 3 + y_1 = 4 \implies y_1 = 1 $$

Para $ D $:
$$ \frac{6 + x_2}{2} = 1 \implies 6 + x_2 = 2 \implies x_2 = -4 $$
$$ \frac{4 + y_2}{2} = 2 \implies 4 + y_2 = 4 \implies y_2 = 0 $$

Portanto, as coordenadas corretas são $ C(0, 1) $ e $ D(-4, 0) $, o que não corresponde à resposta fornecida na pergunta. Parece que há um erro na formulação ou na interpretação do problema.

Num paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos são os po...

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