Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro
termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e a
diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30.
Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro
termos dessa PG é igual a:

Question

Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro
termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e a
diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30.
Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro
termos dessa PG é igual a:

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ($q$).

Seja $a_1$ o primeiro termo da PG e $q$ a razão. Temos quatro termos na PG: $a_1$, $a_2$, $a_3$ e $a_4$.

Os termos da PG podem ser escritos como:
$$ a_1, a_1 q, a_1 q^2, a_1 q^3 $$

De acordo com o problema:
1. O primeiro termo ($a_1$) é o quíntuplo da razão ($q$):
$$ a_1 = 5q $$

2. A diferença entre o segundo e o primeiro termo é 30:
$$ a_2 - a_1 = 30 $$
$$ a_1 q - a_1 = 30 $$
Substituindo $a_1$ por $5q$:
$$ 5q^2 - 5q = 30 $$
Dividindo todos os termos por 5:
$$ q^2 - q = 6 $$
$$ q^2 - q - 6 = 0 $$

Resolvendo a equação quadrática:
$$ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Onde $a = 1$, $b = -1$ e $c = -6$:
$$ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} $$
$$ q = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} $$
$$ q = \frac{1 \pm 5}{2} $$

Portanto, temos duas soluções:
$$ q = \frac{6}{2} = 3 $$
$$ q = \frac{-4}{2} = -2 $$

Como a PG é crescente, descartamos a solução negativa ($q = -2$). Assim, $q = 3$.

Agora, substituímos $q$ para encontrar $a_1$:
$$ a_1 = 5q = 5 \times 3 = 15 $$

Os quatro termos da PG são:
$$ a_1 = 15 $$
$$ a_2 = a_1 q = 15 \times 3 = 45 $$
$$ a_3 = a_1 q^2 = 15 \times 3^2 = 15 \times 9 = 135 $$
$$ a_4 = a_1 q^3 = 15 \times 3^3 = 15 \times 27 = 405 $$

A soma dos quatro termos é:
$$ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 $$
$$ S = 15 + 45 + 135 + 405 $$
$$ S = 600 $$

Portanto, a soma dos quatro termos dessa PG é igual a:
$$ \boxed{600} $$

Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos...

Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e a diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30. Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro termos dessa PG é igual a:

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