O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de aresta
4
2

𝑐
𝑚
4
2

cm . A aresta do tetraedro, em cm, é :

Question

O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de aresta ﻿
4
2
 
𝑐
𝑚
4 
2
​
  cm﻿ . A aresta do tetraedro, em cm, é :

Accepted Answer

Para encontrar a aresta do tetraedro regular, precisamos primeiro calcular o volume do cubo e depois igualar esse valor ao volume do tetraedro para resolver a equação.

1. **Volume do cubo:**

O volume $ V $ de um cubo é dado pela fórmula:
$$ V = a^3 $$
onde $ a $ é a aresta do cubo.

Dado que a aresta do cubo é $ 4\sqrt{2} $ cm:
$$ V = (4\sqrt{2})^3 $$
$$ V = 4^3 \cdot (\sqrt{2})^3 $$
$$ V = 64 \cdot 2\sqrt{2} $$
$$ V = 128\sqrt{2} \, \text{cm}^3 $$

2. **Volume do tetraedro regular:**

O volume $ V $ de um tetraedro regular com aresta $ a $ é dado pela fórmula:
$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$

Queremos que este volume seja igual ao volume do cubo:
$$ \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} = 128\sqrt{2} $$

3. **Resolver a equação:**

Para simplificar, podemos dividir ambos os lados da equação por $ \sqrt{2} $:
$$ \frac{a^3}{12} = 128 $$

Multiplicando ambos os lados por 12:
$$ a^3 = 128 \times 12 $$
$$ a^3 = 1536 $$

Agora, tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
$$ a = \sqrt[3]{1536} $$

Podemos simplificar $ 1536 $ como:
$$ 1536 = 2^9 $$

Portanto:
$$ a = \sqrt[3]{2^9} $$
$$ a = 2^3 $$
$$ a = 8 \, \text{cm} $$

Então, a aresta do tetraedro é **8 cm**.

O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de ar...

O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de aresta 4 2

𝑐 𝑚 4 2 cm . A aresta do tetraedro, em cm, é :

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O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de ar...

O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de aresta ﻿ 4 2 𝑐 𝑚 4 2 ​ cm﻿ . A aresta do tetraedro, em cm, é :

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O volume de um tetraedro regular é igual ao de um cubo de aresta 4 2

𝑐 𝑚 4 2 cm . A aresta do tetraedro, em cm, é :