PERGUNTA 1

A circunferência da figura abaixo tem 8 cm de raio. Um inseto parte do ponto A e anda sobre ela até o ponto B. Sabendo que a medida do ângulo central AÔB é 60°, determine quantos centímetros, aproximadamente, o inseto andou.

a.
8,37 cm

b.
n.d.a.

c.
12,16 cm

d.
15,32 cm

e.
6,28 cm

0,25 pontos

PERGUNTA 2

(UFPE – adaptado) Em relação à figura a seguir, sabendo que θ=60°, indique a alternativa falsa:

a.
O comprimento do segmento BD é 15√3

b.
O triângulo ABC é isósceles.

c.
O ângulo θ é igual à soma dos ângulos e α

d.
A área do triângulo ABD é o dobro da área do triângulo BCD

e.
n.d.a

0,25 pontos

PERGUNTA 3

De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

a.

b.

c.

d.
n.d.a.

0,25 pontos

PERGUNTA 4

Com base nos estudos de trigonometria plana, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

a.

b.

c.
O período da função

d.
Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem cosseno igual a 3/5.

e.
n.d.a.

Question

PERGUNTA 1

A circunferência da figura abaixo tem 8 cm de raio. Um inseto parte do ponto A e anda sobre ela até o ponto B. Sabendo que a medida do ângulo central AÔB é 60°, determine quantos centímetros, aproximadamente, o inseto andou.

a.	
8,37 cm

b.	
n.d.a.

c.	
12,16 cm

d.	
 15,32 cm

e.	
 6,28 cm

0,25 pontos

PERGUNTA 2

(UFPE – adaptado) Em relação à figura a seguir, sabendo que θ=60°, indique a alternativa falsa:

a.	
O comprimento do segmento BD é 15√3

b.	
 O triângulo ABC é isósceles.

c.	
O ângulo θ é igual à soma dos ângulos  e α

d.	
 A área do triângulo ABD é o dobro da área do triângulo BCD

e.	
n.d.a

0,25 pontos

PERGUNTA 3

De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

a.

b.

c.

d.	
n.d.a.

0,25 pontos

PERGUNTA 4

Com base nos estudos de trigonometria plana, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

a.

b.

c.	
O período da função

d.	
Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem cosseno igual a 3/5.

e.	
n.d.a.

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para determinar a distância que o inseto andou, precisamos calcular o comprimento do arco da circunferência entre os pontos A e B. O comprimento do arco $ L $ pode ser calculado usando a fórmula:

$$ L = r \cdot \theta $$

onde $ r $ é o raio da circunferência e $ \theta $ é o ângulo central em radianos. Primeiro, convertemos o ângulo de graus para radianos:

$$ \theta = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ rad} $$

Agora, substituímos os valores na fórmula:

$$ L = 8 \, \text{cm} \times \frac{\pi}{3} \approx 8 \times 1.047 \approx 8.37 \, \text{cm} $$

Portanto, o inseto andou aproximadamente **8,37 cm**.

---

**Resposta: D**

Vamos analisar cada alternativa para determinar qual é falsa:

a. O comprimento do segmento BD é $ 15\sqrt{3} $.

b. O triângulo ABC é isósceles.

c. O ângulo $ \theta $ é igual à soma dos ângulos $ \alpha $ e $ \beta $.

d. A área do triângulo ABD é o dobro da área do triângulo BCD.

e. n.d.a.

Para determinar se a alternativa D é falsa, precisamos analisar as áreas dos triângulos ABD e BCD. Se $ \theta = 60^\circ $, então os triângulos ABD e BCD têm a mesma base BD e altura. Portanto, as áreas desses triângulos são iguais, não sendo o dobro uma da outra.

Logo, a alternativa **D** é falsa.

---

**Resposta: D**

Para resolver essa questão, vamos usar a trigonometria. Seja $ h $ a altura do morro. Inicialmente, o agrimensor vê o topo do morro sob um ângulo de 45° a uma distância $ d $ do morro. Então, temos:

$$ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d} $$
$$ 1 = \frac{h}{d} $$
$$ h = d $$

Quando ele se aproxima 50 metros, a distância até o morro é $ d - 50 $. Agora, ele vê o topo do morro sob um ângulo de 60°:

$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{d - 50} $$
$$ \sqrt{3} = \frac{h}{d - 50} $$
$$ h = \sqrt{3}(d - 50) $$

Igualando as duas expressões para $ h $:

$$ d = \sqrt{3}(d - 50) $$
$$ d = \sqrt{3}d - 50\sqrt{3} $$
$$ d(1 - \sqrt{3}) = -50\sqrt{3} $$
$$ d = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} $$
$$ d = \frac{50\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} $$
$$ d = \frac{50\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} $$
$$ d = 25(3 + \sqrt{3}) $$

A altura do morro é:

$$ h = d = 25(3 + \sqrt{3}) $$

Portanto, a altura do morro é aproximadamente **n.d.a.** (nenhuma das alternativas dadas corresponde a este valor).

---

**Resposta: D**

Vamos analisar a afirmação D. Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, podemos calcular a hipotenusa $ c $ usando o Teorema de Pitágoras:

$$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} $$

O cosseno do menor ângulo $ \theta $ é dado por:

$$ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} $$

Para o menor ângulo, o cateto adjacente é 6 cm:

$$ \cos(\theta) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Portanto, a afirmação é correta. Logo, a alternativa **D** é verdadeira, e a resposta correta é **n.d.a.** (nenhuma das alternativas anteriores é falsa).