Uma ponte passando por BD vai ser construida sobre um rio. As margens desse rio sāo inacessiveis (estão infestadas por jacarés). Os pontos C e D são vistos a partir dos pontos A e B. Qual é a largura do rio? (dados: a distância entre A a B é de 50m, de B a C é de 20m. O ângulo do triangulo ABC é de 25°.

Question

Accepted Answer

Para determinar a largura do rio, precisamos calcular a distância BD. Podemos fazer isso usando a trigonometria e as informações fornecidas.

Primeiro, vamos considerar o triângulo ABC. Usaremos a Lei dos Cossenos para encontrar a distância AC, que é um passo intermediário necessário para resolver o problema.

A Lei dos Cossenos é dada por:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) $$

Onde:
- $ c $ é o lado oposto ao ângulo $\gamma$
- $ a $ e $ b $ são os outros dois lados do triângulo
- $\gamma$ é o ângulo entre os lados $ a $ e $ b $

No nosso caso:
- $ a = AB = 50 \, \text{m} $
- $ b = BC = 20 \, \text{m} $
- $\gamma = 25^\circ$

Substituindo esses valores na fórmula da Lei dos Cossenos, temos:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(25^\circ) $$

$$ AC^2 = 50^2 + 20^2 - 2 \cdot 50 \cdot 20 \cdot \cos(25^\circ) $$

$$ AC^2 = 2500 + 400 - 2000 \cdot \cos(25^\circ) $$

Calculando o valor de $\cos(25^\circ)$, que é aproximadamente 0.9063, temos:

$$ AC^2 = 2500 + 400 - 2000 \cdot 0.9063 $$

$$ AC^2 = 2900 - 1812.6 $$

$$ AC^2 = 1087.4 $$

$$ AC = \sqrt{1087.4} $$

$$ AC \approx 33 \, \text{m} $$

Agora, temos que usar a trigonometria no triângulo ACD para encontrar a largura do rio (BD). Como sabemos que AC é aproximadamente 33 m e o ângulo entre AC e CD é de 90° (assumindo que a ponte é perpendicular ao rio), podemos usar a função seno.

Seja $ \theta $ o ângulo em D, então:

$$ \sin(\theta) = \frac{BD}{AC} $$

Como $\theta$ é 90°, $\sin(90^\circ) = 1$:

$$ BD = AC \cdot \sin(90^\circ) $$

$$ BD = 33 \cdot 1 $$

$$ BD = 33 \, \text{m} $$

Portanto, a largura do rio é aproximadamente **33 metros**.

Uma ponte passando por BD vai ser construida sobre um rio. A...

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