7. Prove que, a fim de que um número real b não seja valor d...

7. Prove que, a fim de que um número real b não seja valor de aderência da sequência (x_n)_{n ∈ N}, é necessário e suficiente que existam n_0 ∈ N e ε > 0 tais que n > n_0 ⇒ |x_n - b| ≥ ε.

Resolução: Para que a seja valor de aderência de (x_n)_{n ∈ N}, é condição necessária e suficiente que a = lim (x_n) com n → ∞. Se a não é valor de aderência, segue que existem infinitos n ∈ N tais que x_n não se aproxima de a, ou seja, |x_n - a| ≥ ε para todo ε > 0.

Reciprocamente supomos que a ∉ o conjunto {x_n}. Então, como o conjunto é finito, existe um ε > 0 tal que |x_n - a| ≥ ε para todo n ∈ N.

Isto completa a definição indutiva de N' = {n1 ∈ N | n1 > m} e para todo k ∈ N, temos lim x_n = a.

Conclusão: b não é valor de aderência de (x_n).