Para todo X ⊂ R, prove que vale a reuni˜ao disjunta R = int X ∪ int(R −
X) ∪ F, onde F ´e formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhan¸ca de x cont´em pontos
de X e pontos de R − X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove A ⊂ R ´e
aberto se, e somente se A ∩ fr(A) = ∅.

Question

Para todo X ⊂ R, prove que vale a reuni˜ao disjunta R = int X ∪ int(R −
X) ∪ F, onde F ´e formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhan¸ca de x cont´em pontos
de X e pontos de R − X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove A ⊂ R ´e
aberto se, e somente se A ∩ fr(A) = ∅.

Accepted Answer

Vamos provar as duas partes da questão:

1. **Prova da união disjunta:**

Queremos mostrar que $ R = \text{int}(X) \cup \text{int}(R - X) \cup F $, onde $ F = \text{fr}(X) $.

- **Definição de interior**: O interior de um conjunto $ A $, denotado por $ \text{int}(A) $, é o conjunto de todos os pontos de $ A $ que possuem uma vizinhança completamente contida em $ A $.
  
- **Definição de fronteira**: A fronteira de um conjunto $ A $, denotada por $ \text{fr}(A) $, é o conjunto dos pontos $ x \in R $ tais que toda vizinhança de $ x $ contém pontos de $ A $ e pontos de $ R - A $.

Primeiro, note que qualquer ponto $ x \in R $ pertence a exatamente um dos seguintes conjuntos:
- $ \text{int}(X) $: Se $ x \in \text{int}(X) $, então existe uma vizinhança de $ x $ completamente contida em $ X $.
- $ \text{int}(R - X) $: Se $ x \in \text{int}(R - X) $, então existe uma vizinhança de $ x $ completamente contida em $ R - X $.
- $ \text{fr}(X) $: Se $ x \in \text{fr}(X) $, então toda vizinhança de $ x $ contém pontos de $ X $ e pontos de $ R - X $.

Como esses três conjuntos são disjuntos, temos que:

$$ R = \text{int}(X) \cup \text{int}(R - X) \cup \text{fr}(X) $$

2. **Prova de que $ A \subset R $ é aberto se, e somente se, $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $:**

- **Se $ A $ é aberto, então $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $:**

Suponha que $ A $ é aberto. Então, por definição, $ A = \text{int}(A) $. A fronteira $ \text{fr}(A) $ consiste em pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de $ A $ e $ R - A $. Se $ x \in A $, então $ x \notin \text{fr}(A) $, pois $ x \in \text{int}(A) $ e há uma vizinhança de $ x $ completamente contida em $ A $. Portanto, $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $.

- **Se $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $, então $ A $ é aberto:**

Suponha que $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $. Para mostrar que $ A $ é aberto, precisamos provar que $ A \subseteq \text{int}(A) $. Tome um ponto $ x \in A $. Como $ x \notin \text{fr}(A) $, isso implica que existe uma vizinhança de $ x $ que está completamente dentro de $ A $. Portanto, $ x \in \text{int}(A) $. Assim, $ A \subseteq \text{int}(A) $, e como $ \text{int}(A) \subseteq A $ por definição, temos $ A = \text{int}(A) $, o que significa que $ A $ é aberto.

Portanto, provamos que $ A \subset R $ é aberto se, e somente se, $ A \cap \text{fr}(A) = \emptyset $.

Para todo X ⊂ R, prove que vale a reuni˜ao disjunta R = int ...

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