Sejam o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o plano μ : 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c e d reais.

Question

Accepted Answer

Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. O vetor normal do plano $\pi$ é $(a, b, c)$ e o vetor normal do plano $\mu$ é $(2, 1, -1)$.

Sendo assim, temos:

$$
(a, b, c) = k(2, 1, -1)
$$

Portanto, $a = 2k$, $b = k$ e $c = -k$.

Como o plano $\pi$ passa pela origem, o ponto $(0, 0, 0)$ deve satisfazer a equação do plano:

$$
a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0 \implies d = 0
$$

Agora, calculemos $a + b + c + d$:

$$
a + b + c + d = 2k + k - k + 0 = 2k
$$

Para determinar $k$, sabemos apenas que os planos são paralelos, então $k$ pode ser qualquer valor real. Assim, não há um valor específico para $a + b + c + d$; ele depende de $k$.

Se quisermos um valor específico, podemos assumir $k=1$ (a escolha mais simples), então:

$$
a + b + c + d = 2 \times 1 = 2
$$

Portanto, o valor é 2.

Sejam o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o plano μ : 2x + y ...

Sejam o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o plano μ : 2x + y - z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c e d reais.

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