Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0,

Q: Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0,

Para resolver a equação diferencial dada $(x^2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0$, vamos tentar encontrar uma solução geral utilizando o método de separação de variáveis ou identificando-a como uma equação diferencial exata, dependendo da sua forma. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ é exata se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Neste caso, temos: \[M(x,y) = x^2 + y\] \[N(x,y) = x - 2y\] Calculamos as derivadas parciais: \[\frac{\partial M}{\partial y} = 1\] \[\frac{\partial N}{\partial x} = 1\] Como $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $\Psi(x, y)$ tal que $\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M$ e $\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N$. Para encontrar $\Psi(x, y)$, integramos $M(x,y)$ em relação a $x$ e $N(x,y)$ em relação a $y$, mantendo a outra variável constante. Integrando $M(x,y) = x^2 + y$ em relação a $x$: \[\Psi(x, y) = \int (x^2 + y) dx = \frac{x^3}{3} + xy + g(y)\] Agora, para determinar $g(y)$, usamos $\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N$: \[\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + g'(y) = x - 2y\] Isso nos dá: \[g'(y) = -2y\] Integrando $g'(y)$ em relação a $y$, obtemos: \[g(y) = -y^2 + C\] Portanto, a função $\Psi(x, y)$ é: \[\Psi(x, y) = \frac{x^3}{3} + xy - y^2 + C\] A solução geral da equação diferencial é então dada por: \[\frac{x^3}{3} + xy - y^2 = C\] Onde $C$ é uma constante arbitrária.

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Para resolver a equação diferencial dada $(x^2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0$, vamos tentar encontrar uma solução geral utilizando o método de separação de variáveis ou identificando-a como uma equação diferencial exata, dependendo da sua forma.

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ é exata se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.

Neste caso, temos:
$$M(x,y) = x^2 + y$$
$$N(x,y) = x - 2y$$

Calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$$
$$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$$

Como $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $\Psi(x, y)$ tal que $\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M$ e $\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N$.

Para encontrar $\Psi(x, y)$, integramos $M(x,y)$ em relação a $x$ e $N(x,y)$ em relação a $y$, mantendo a outra variável constante.

Integrando $M(x,y) = x^2 + y$ em relação a $x$:
$$\Psi(x, y) = \int (x^2 + y) dx = \frac{x^3}{3} + xy + g(y)$$

Agora, para determinar $g(y)$, usamos $\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N$:
$$\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + g'(y) = x - 2y$$

Isso nos dá:
$$g'(y) = -2y$$

Integrando $g'(y)$ em relação a $y$, obtemos:
$$g(y) = -y^2 + C$$

Portanto, a função $\Psi(x, y)$ é:
$$\Psi(x, y) = \frac{x^3}{3} + xy - y^2 + C$$

A solução geral da equação diferencial é então dada por:
$$\frac{x^3}{3} + xy - y^2 = C$$

Onde $C$ é uma constante arbitrária.

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Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0,

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