Ache a área da região delimitada pela parábola y=x^2 a reta tangente a esta parábola no ponto (1,1) e o eixo x.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a área da região delimitada pela parábola $y = x^2$, a reta tangente a esta parábola no ponto $(1,1)$ e o eixo $x$, precisamos seguir alguns passos:

### 1. Encontrar a Equação da Reta Tangente

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $y = x^2$ para determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $x$.

$$y' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

No ponto $(1,1)$, a inclinação da reta tangente é:

$$m = 2 \cdot 1 = 2$$

Agora, sabendo que a equação da reta tangente tem a forma $y = mx + b$, onde $m$ é a inclinação e $b$ é o intercepto y, podemos substituir $m = 2$, $x = 1$, e $y = 1$ para encontrar $b$.

$$1 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -1$$

Portanto, a equação da reta tangente é:

$$y = 2x - 1$$

### 2. Encontrar os Pontos de Interseção

Para encontrar os pontos de interseção entre a parábola $y = x^2$ e a reta tangente $y = 2x - 1$, igualamos as duas equações:

$$x^2 = 2x - 1$$

Resolvendo esta equação quadrática:

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x - 1)^2 = 0$$

O único ponto de interseção no intervalo relevante é $x = 1$, que já sabíamos.

### 3. Calcular a Área da Região Delimitada

Para calcular a área da região delimitada, integramos a diferença entre as funções no intervalo de $x = 0$ até $x = 1$, pois além do ponto de tangência, o outro limite é o ponto onde ambas as curvas cortam o eixo $x$, que é facilmente identificável como $x = 0$ para a reta tangente.

A área $A$ é dada por:

$$A = \int_{0}^{1} (2x - 1) - x^2 dx$$

$$A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - x \right]_{0}^{1}$$

Calculando a integral:

$$A = \left(1^2 - \frac{1^3}{3} - 1\right) - (0 - 0 - 0)$$

$$A = 1 - \frac{1}{3} - 1$$

$$A = -\frac{1}{3}$$

Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica um erro na formulação da integral. O erro foi considerar a reta acima da parábola no intervalo dado, quando na verdade, devemos considerar $x^2 - (2x - 1)$ para calcular a área corretamente. Vamos corrigir isso:

$$A_{corrigido} = \int_{0}^{1} x^2 - (2x - 1) dx$$

$$A_{corrigido} = \int_{0}^{1} x^2 - 2x + 1 dx$$

$$A_{corrigido} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{0}^{1}$$

$$A_{corrigido} = \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0$$

$$A_{corrigido} = \frac{1}{3}$$

Portanto, a área da região delimitada pela parábola $y = x^2$, a reta tangente a esta parábola no ponto $(1,1)$ e o eixo $x$ é $\frac{1}{3}$ unidades quadradas.

Ache a área da região delimitada pela parábola y=x^2 a reta ...

Ache a área da região delimitada pela parábola y=x^2 a reta tangente a esta parábola no ponto (1,1) e o eixo x.

Ask a question and receive an answer instantly