Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x") V4x + 1 no ponto x = 2

Q: Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x") V4x + 1 no ponto x = 2

Para determinar a derivada da função $f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$ no ponto $x = 2$, primeiro precisamos encontrar a derivada geral de $f(x)$ e, em seguida, substituir $x = 2$ na expressão resultante. A função é composta por duas partes: $42x$ e $3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$. Vamos derivá-las separadamente e depois somá-las para obter a derivada total de $f(x)$. 1. A derivada de $42x$ em relação a $x$ é simplesmente $42$, pois a derivada de $x$ é $1$, e $42$ é uma constante. 2. Para a segunda parte, $3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia: \[g(x) = 3(2 - x^2) \text{ e } h(x) = \sqrt{4x + 1}\] A derivada de $g(x)$ é: \[g'(x) = 3 \cdot (-2x) = -6x\] A derivada de $h(x)$ usando a regra da cadeia (onde $\sqrt{4x + 1}$ pode ser reescrito como $(4x + 1)^{\frac{1}{2}}$) é: \[h'(x) = \frac{1}{2}(4x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}\] Usando a regra do produto ($(gh)' = g'h + gh'$), temos: \[f'(x) = 42 + (-6x) \sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2) \cdot \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}\] \[f'(x) = 42 - 6x \sqrt{4x + 1} + \frac{6(2 - x^2)}{\sqrt{4x + 1}}\] Agora, substituímos $x = 2$: \[f'(2) = 42 - 6(2) \sqrt{4(2) + 1} + \frac{6(2 - (2)^2)}{\sqrt{4(2) + 1}}\] \[f'(2) = 42 - 12 \sqrt{9} + \frac{6(2 - 4)}{\sqrt{9}}\] \[f'(2) = 42 - 12(3) + \frac{6(-2)}{3}\] \[f'(2) = 42 - 36 - 4\] \[f'(2) = 2\] Portanto, o valor da derivada da função no ponto $x = 2$ é $2$.

Question

Accepted Answer

Para determinar a derivada da função $f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$ no ponto $x = 2$, primeiro precisamos encontrar a derivada geral de $f(x)$ e, em seguida, substituir $x = 2$ na expressão resultante.

A função é composta por duas partes: $42x$ e $3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$. Vamos derivá-las separadamente e depois somá-las para obter a derivada total de $f(x)$.

1. A derivada de $42x$ em relação a $x$ é simplesmente $42$, pois a derivada de $x$ é $1$, e $42$ é uma constante.

2. Para a segunda parte, $3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1}$, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:

$$g(x) = 3(2 - x^2) \text{ e } h(x) = \sqrt{4x + 1}$$

A derivada de $g(x)$ é:

$$g'(x) = 3 \cdot (-2x) = -6x$$

A derivada de $h(x)$ usando a regra da cadeia (onde $\sqrt{4x + 1}$ pode ser reescrito como $(4x + 1)^{\frac{1}{2}}$) é:

$$h'(x) = \frac{1}{2}(4x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$$

Usando a regra do produto ($(gh)' = g'h + gh'$), temos:

$$f'(x) = 42 + (-6x) \sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2) \cdot \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$$

$$f'(x) = 42 - 6x \sqrt{4x + 1} + \frac{6(2 - x^2)}{\sqrt{4x + 1}}$$

Agora, substituímos $x = 2$:

$$f'(2) = 42 - 6(2) \sqrt{4(2) + 1} + \frac{6(2 - (2)^2)}{\sqrt{4(2) + 1}}$$

$$f'(2) = 42 - 12 \sqrt{9} + \frac{6(2 - 4)}{\sqrt{9}}$$

$$f'(2) = 42 - 12(3) + \frac{6(-2)}{3}$$

$$f'(2) = 42 - 36 - 4$$

$$f'(2) = 2$$

Portanto, o valor da derivada da função no ponto $x = 2$ é $2$.

Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x...

Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x") V4x + 1 no ponto x = 2

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