Mostre que as retas tangentes à parábola y = ax2 + bx + c em quaisquer dois pontos com
coordenadas x dadas por p e q devem se interceptar em um ponto cuja coordenada x está
no ponto médio de p e q (ou seja, x = (p + q)/2).

Q: Mostre que as retas tangentes à parábola y = ax2 + bx + c em quaisquer dois pontos com coordenadas x dadas por p e q devem se interceptar em um ponto cuja coordenada x está no ponto médio de p e q (ou seja, x = (p + q)/2).

Para mostrar que as retas tangentes à parábola $ y = ax^2 + bx + c $ nos pontos com coordenadas $ x = p $ e $ x = q $ se interceptam em um ponto cuja coordenada $ x $ é o ponto médio de $ p $ e $ q $, vamos seguir os seguintes passos: 1. **Encontrar a equação da reta tangente em um ponto genérico $ x_0 $:** A derivada da função $ y = ax^2 + bx + c $ é: \[ y' = 2ax + b \] A inclinação da reta tangente no ponto $ x = x_0 $ é $ 2ax_0 + b $. A equação da reta tangente no ponto $ (x_0, y_0) $, onde $ y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c $, é dada por: \[ y - y_0 = (2ax_0 + b)(x - x_0) \] Substituindo $ y_0 $: \[ y - (ax_0^2 + bx_0 + c) = (2ax_0 + b)(x - x_0) \] Simplificando, obtemos a equação da reta tangente: \[ y = (2ax_0 + b)x - (2ax_0 + b)x_0 + ax_0^2 + bx_0 + c \] 2. **Equações das tangentes nos pontos $ x = p $ e $ x = q $:** Para $ x = p $: \[ y = (2ap + b)x - (2ap + b)p + ap^2 + bp + c \] Para $ x = q $: \[ y = (2aq + b)x - (2aq + b)q + aq^2 + bq + c \] 3. **Encontrar o ponto de interseção das duas retas:** Igualando as duas equações das tangentes: \[ (2ap + b)x - (2ap + b)p + ap^2 + bp + c = (2aq + b)x - (2aq + b)q + aq^2 + bq + c \] Cancelando termos semelhantes e simplificando: \[ (2ap + b)x - (2aq + b)x = (2ap + b)p - ap^2 - bp - (2aq + b)q + aq^2 + bq \] \[ (2ap - 2aq)x = (2ap - 2aq)\left(\frac{p + q}{2}\right) \] Assim, temos: \[ x = \frac{p + q}{2} \] Portanto, as retas tangentes à parábola nos pontos $ x = p $ e $ x = q $ se interceptam em um ponto cuja coordenada $ x $ é o ponto médio de $ p $ e $ q $. Isso conclui a demonstração.

Question

Mostre que as retas tangentes à parábola y = ax2 + bx + c em quaisquer dois pontos com
coordenadas x dadas por p e q devem se interceptar em um ponto cuja coordenada x está
no ponto médio de p e q (ou seja, x = (p + q)/2).

Accepted Answer

Para mostrar que as retas tangentes à parábola $ y = ax^2 + bx + c $ nos pontos com coordenadas $ x = p $ e $ x = q $ se interceptam em um ponto cuja coordenada $ x $ é o ponto médio de $ p $ e $ q $, vamos seguir os seguintes passos:

1. **Encontrar a equação da reta tangente em um ponto genérico $ x_0 $:**

A derivada da função $ y = ax^2 + bx + c $ é:

$$
y' = 2ax + b
$$

A inclinação da reta tangente no ponto $ x = x_0 $ é $ 2ax_0 + b $. A equação da reta tangente no ponto $ (x_0, y_0) $, onde $ y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c $, é dada por:

$$
y - y_0 = (2ax_0 + b)(x - x_0)
$$

Substituindo $ y_0 $:

$$
y - (ax_0^2 + bx_0 + c) = (2ax_0 + b)(x - x_0)
$$

Simplificando, obtemos a equação da reta tangente:

$$
y = (2ax_0 + b)x - (2ax_0 + b)x_0 + ax_0^2 + bx_0 + c
$$

2. **Equações das tangentes nos pontos $ x = p $ e $ x = q $:**

Para $ x = p $:

$$
y = (2ap + b)x - (2ap + b)p + ap^2 + bp + c
$$

Para $ x = q $:

$$
y = (2aq + b)x - (2aq + b)q + aq^2 + bq + c
$$

3. **Encontrar o ponto de interseção das duas retas:**

Igualando as duas equações das tangentes:

$$
(2ap + b)x - (2ap + b)p + ap^2 + bp + c = (2aq + b)x - (2aq + b)q + aq^2 + bq + c
$$

Cancelando termos semelhantes e simplificando:

$$
(2ap + b)x - (2aq + b)x = (2ap + b)p - ap^2 - bp - (2aq + b)q + aq^2 + bq
$$

$$
(2ap - 2aq)x = (2ap - 2aq)\left(\frac{p + q}{2}\right)
$$

Assim, temos:

$$
x = \frac{p + q}{2}
$$

Portanto, as retas tangentes à parábola nos pontos $ x = p $ e $ x = q $ se interceptam em um ponto cuja coordenada $ x $ é o ponto médio de $ p $ e $ q $.

Isso conclui a demonstração.

Mostre que as retas tangentes à parábola y = ax2 + bx + c em...

Mostre que as retas tangentes à parábola y = ax2 + bx + c em quaisquer dois pontos com coordenadas x dadas por p e q devem se interceptar em um ponto cuja coordenada x está no ponto médio de p e q (ou seja, x = (p + q)/2).

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