Qual a derivada de f(x)=raiz de x no ponto a=4 através do limite do quociente de Newton?

Q: Qual a derivada de f(x)=raiz de x no ponto a=4 através do limite do quociente de Newton?

Para encontrar a derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto $a=4$ através do limite do quociente de Newton, usaremos a seguinte fórmula: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] Substituindo $f(x) = \sqrt{x}$ e $a=4$, temos: \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - \sqrt{4}}{h} \] Simplificando a expressão, obtemos: \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \] Para resolver este limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador: \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2} \] Aplicando a multiplicação, temos: \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)} \] \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)} \] Cancelando $h$ nos numeradores e denominadores: \[ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2} \] Substituindo $h$ por 0: \[ f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \] Portanto, a derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto $a=4$ é $\frac{1}{4}$.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto $a=4$ através do limite do quociente de Newton, usaremos a seguinte fórmula:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

Substituindo $f(x) = \sqrt{x}$ e $a=4$, temos:

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - \sqrt{4}}{h}
$$

Simplificando a expressão, obtemos:

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}
$$

Para resolver este limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2}
$$

Aplicando a multiplicação, temos:

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)}
$$

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)}
$$

Cancelando $h$ nos numeradores e denominadores:

$$
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2}
$$

Substituindo $h$ por 0:

$$
f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
$$

Portanto, a derivada de $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto $a=4$ é $\frac{1}{4}$.

Qual a derivada de f(x)=raiz de x no ponto a=4 através do li...

Qual a derivada de f(x)=raiz de x no ponto a=4 através do limite do quociente de Newton?

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