1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:

a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.

b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e z metros de altura.

c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b.

d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais.

e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.

f) A distância entre dois pontos P(x, y, z) e O(u, v, w).

g) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, tânja do ponto ao centro da esfera.

Question

1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:

a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.

b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e z metros de altura.

c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b.

d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais.

e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.

f) A distância entre dois pontos P(x, y, z) e O(u, v, w).

g) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, tânja do ponto ao centro da esfera.

Accepted Answer

Para resolver as questões propostas, precisamos encontrar funções de várias variáveis para cada situação descrita. Vamos analisar cada uma:

a) **Comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35:**

A escada forma um triângulo retângulo com o solo e a parede. Podemos usar o teorema de Pitágoras:

$$ l = \sqrt{L^2 + H^2} $$

b) **Volume de água necessário para encher uma piscina redonda de raio $ x $ metros e altura $ y $ metros:**

O volume de um cilindro (forma da piscina) é dado por:

$$ V = \pi x^2 y $$

c) **Quantidade de rodapé necessária para uma sala retangular de largura $ a $ e comprimento $ b $:**

O perímetro da sala retangular é:

$$ P = 2(a + b) $$

d) **Quantidade de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de $ x $ metros de largura e $ y $ metros de comprimento, se a altura do quarto é $ z $ metros:**

A área das paredes laterais é:

$$ A = 2(xz + yz) $$

e) **Volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões $ x, y, z $:**

$$ V = xyz $$

f) **Distância entre dois pontos $ P(x, y, z) $ e $ Q(u, v, w) $:**

$$ d = \sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2 + (z-w)^2} $$

g) **Temperatura nos pontos de uma esfera, se ela é numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera:**

Se o centro da esfera é $ (0, 0, 0) $, a temperatura $ T(x, y, z) $ é dada por:

$$ T = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

Essas são as funções necessárias para cada situação apresentada.