Dada a integral definida a e 0 z.raiz de a2-z2dz

, quais são seu valor literal, assumindo a 0, e seu valor numérico, para a = 3 ?

Q: Dada a integral definida a e 0 z.raiz de a2-z2dz , quais são seu valor literal, assumindo a > 0, e seu valor numérico, para a = 3 ?

Para resolver a integral definida $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - z^2} \, dz$, podemos reconhecer que ela representa a área de um quarto de círculo de raio $a$. A função $\sqrt{a^2 - z^2}$ é a equação de um semicírculo com raio $a$ centrado na origem. A integral $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - z^2} \, dz$ calcula a área sob o arco do semicírculo no primeiro quadrante, o que corresponde a um quarto da área total do círculo de raio $a$. A área de um círculo de raio $a$ é $\pi a^2$. Portanto, a área de um quarto de círculo é: \[ \frac{1}{4} \pi a^2 \] Assim, a solução literal para a integral é $\frac{1}{4} \pi a^2$. Para $a = 3$, substituímos na expressão $\frac{1}{4} \pi a^2$: \[ \frac{1}{4} \pi (3)^2 = \frac{1}{4} \pi \times 9 = \frac{9}{4} \pi \] Portanto, o valor numérico da integral para $a = 3$ é: \[ \frac{9}{4} \pi \approx 7.0686 \] **Resposta literal:** $\frac{1}{4} \pi a^2$ **Resposta numérica para $a = 3$:** $\frac{9}{4} \pi \approx 7.0686$

Question

Dada a integral definida a e 0 z.raiz de a2-z2dz

​​​​​​​, quais são seu valor literal, assumindo a > 0, e seu valor numérico, para a = 3 ?

Accepted Answer

Para resolver a integral definida $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - z^2} \, dz$, podemos reconhecer que ela representa a área de um quarto de círculo de raio $a$. A função $\sqrt{a^2 - z^2}$ é a equação de um semicírculo com raio $a$ centrado na origem.

A integral $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - z^2} \, dz$ calcula a área sob o arco do semicírculo no primeiro quadrante, o que corresponde a um quarto da área total do círculo de raio $a$.

A área de um círculo de raio $a$ é $\pi a^2$. Portanto, a área de um quarto de círculo é:

$$
\frac{1}{4} \pi a^2
$$

Assim, a solução literal para a integral é $\frac{1}{4} \pi a^2$.

Para $a = 3$, substituímos na expressão $\frac{1}{4} \pi a^2$:

$$
\frac{1}{4} \pi (3)^2 = \frac{1}{4} \pi \times 9 = \frac{9}{4} \pi
$$

Portanto, o valor numérico da integral para $a = 3$ é:

$$
\frac{9}{4} \pi \approx 7.0686
$$

**Resposta literal:** $\frac{1}{4} \pi a^2$

**Resposta numérica para $a = 3$:** $\frac{9}{4} \pi \approx 7.0686$

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