Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem quando as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de integração, como infinito ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas técnicas específicas, como a limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de determinar se a integral converge ou diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir
Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.I. A integral apresentada é convergente.
PORQUE
II. Ao calcular essa integral, obtemos
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B) As asserções I e II são falsas.
C) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Question

Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem quando as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de integração, como infinito ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas técnicas específicas, como a limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de determinar se a integral converge ou diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir
Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.I. A integral apresentada é convergente.
PORQUE
II. Ao calcular essa integral, obtemos
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A)  A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B)  As asserções I e II são falsas.
C)  A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D)  As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E)  As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Accepted Answer

Para avaliar as asserções, precisamos primeiro verificar a integral imprópria apresentada e determinar se ela é convergente ou divergente. No entanto, como a integral específica não foi fornecida na sua mensagem, vamos considerar um exemplo comum de integral imprópria para ilustrar o processo.

Suponha que estamos lidando com a integral:

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx
$$

### Passo 1: Avaliar a convergência da integral

Para determinar se essa integral é convergente, calculamos:

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} \, dx
$$

### Passo 2: Calcular a integral definida

$$
\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 1 - \frac{1}{b}
$$

### Passo 3: Avaliar o limite quando $ b \to \infty $

$$
\lim_{b \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = 1
$$

Portanto, a integral $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ é convergente e seu valor é 1.

Agora, retornando às asserções:

I. A integral apresentada é convergente.
II. Ao calcular essa integral, obtemos 1.

### Análise das Asserções

- A asserção I é verdadeira porque a integral é de fato convergente.
- A asserção II também é verdadeira, pois ao calcular a integral, obtemos 1.

Além disso, a asserção II justifica corretamente a asserção I, pois o cálculo correto da integral confirma sua convergência.

**Resposta: D**

As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito...

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