Lim X³/ X²-Y²
(X,Y) - (0,0)

Q: Lim X³/ X²-Y² (X,Y) -> (0,0)

Para encontrar o limite da função \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3}{x^2 - y^2}, \] vamos analisar o comportamento da função à medida que as variáveis $x$ e $y$ se aproximam de 0. Primeiramente, vamos considerar diferentes caminhos para ver se o limite depende do caminho seguido. 1. **Caminho $y = 0$**: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0. \] 2. **Caminho $x = 0$**: \[ \lim_{y \to 0} \frac{0^3}{0^2 - y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{0}{-y^2} = 0. \] 3. **Caminho $y = x$**: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{0}. \] Este limite não está definido, pois estamos dividindo por zero. 4. **Caminho $y = kx$, onde $k$ é uma constante**: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2(1 - k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2(1 - k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - k^2} = 0. \] Observamos que ao longo dos caminhos $y = 0$ e $x = 0$, o limite é 0. No entanto, ao longo do caminho $y = x$, o limite não está definido devido à divisão por zero. Portanto, o limite não existe porque ele depende do caminho seguido para $(x, y) \to (0,0)$.

Question

Lim  X³/ X²-Y²
(X,Y) -> (0,0)

Accepted Answer

Para encontrar o limite da função

$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3}{x^2 - y^2},
$$

vamos analisar o comportamento da função à medida que as variáveis $x$ e $y$ se aproximam de 0.

Primeiramente, vamos considerar diferentes caminhos para ver se o limite depende do caminho seguido.

1. **Caminho $y = 0$**:
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0.
   $$

2. **Caminho $x = 0$**:
   $$
   \lim_{y \to 0} \frac{0^3}{0^2 - y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{0}{-y^2} = 0.
   $$

3. **Caminho $y = x$**:
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{0}.
   $$
   Este limite não está definido, pois estamos dividindo por zero.

4. **Caminho $y = kx$, onde $k$ é uma constante**:
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 - (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2(1 - k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2(1 - k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - k^2} = 0.
   $$

Observamos que ao longo dos caminhos $y = 0$ e $x = 0$, o limite é 0. No entanto, ao longo do caminho $y = x$, o limite não está definido devido à divisão por zero.

Portanto, o limite não existe porque ele depende do caminho seguido para $(x, y) \to (0,0)$.

Lim X³/ X²-Y² (X,Y) -> (0,0)

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