Na década de 1930, o biólogo G.F. Gause realizou uma experiência com o protozoário paramécio e usou uma equação logística para modelar seus dados. A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários.

t(dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P(observados) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64. E chegou na seguinte equação logística p(t) = 64/1+31e^-0,7944t

Question

Na década de 1930, o biólogo G.F. Gause realizou uma experiência com o protozoário paramécio e usou uma equação logística para modelar seus dados. A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários.

t(dias)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
P(observados)	2	3	22	16	39	52	54	47	50	76	69	51	57	70	53	59	57
Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64. E chegou na seguinte equação logística  p(t) = 64/1+31e^-0,7944t

Accepted Answer

Para entender a equação logística usada por G.F. Gause, vamos primeiro revisar a forma geral da equação logística de crescimento populacional. A equação logística é expressa como:

$$ p(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}} $$

onde:
- $p(t)$ é a população no tempo $t$,
- $K$ é a capacidade de suporte do ambiente,
- $P_0$ é a população inicial no tempo $t = 0$,
- $r$ é a taxa relativa de crescimento,
- $t$ é o tempo.

A equação fornecida para o modelo de Gause é:

$$ p(t) = \frac{64}{1 + 31e^{-0,7944t}} $$

Neste caso, podemos identificar que:
- A capacidade de suporte ($K$) é 64,
- A taxa relativa de crescimento ($r$) é 0,7944,
- O termo $31$ no denominador sugere que $\frac{K - P_0}{P_0} = 31$, indicando a relação entre a capacidade de suporte e a população inicial.

Se assumirmos $K = 64$ e $\frac{K - P_0}{P_0} = 31$, podemos resolver para $P_0$ (população inicial):

$$ 31 = \frac{64 - P_0}{P_0} $$
$$ 31P_0 = 64 - P_0 $$
$$ 32P_0 = 64 $$
$$ P_0 = 2 $$

Isso confirma que a população inicial ($P_0$) é 2, como indicado na tabela de dados.

Agora, se quisermos usar essa equação para prever a população em um determinado dia $t$, simplesmente substituímos $t$ na equação dada por Gause. Por exemplo, para calcular a população no dia 5, substituímos $t = 5$ na equação:

$$ p(5) = \frac{64}{1 + 31e^{-0,7944 \cdot 5}} $$

Calculando o valor do expoente primeiro:

$$ e^{-0,7944 \cdot 5} \approx e^{-3,972} $$

E então o denominador:

$$ 1 + 31e^{-3,972} $$

E finalmente, dividimos 64 pelo valor do denominador para encontrar $p(5)$.

Este modelo logístico nos permite entender como a população do paramécio cresce até atingir um ponto de saturação, refletindo a limitação de recursos (capacidade de suporte) e ajustando-se à realidade biológica observada por Gause.

Na década de 1930, o biólogo G.F. Gause realizou uma experiê...

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