Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por partes.

Na integração por partes temos que

integral f left parenthesis x right parenthesis g apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x equals f left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis minus integral f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis d x

As funções f e g, deriváveis, podem ser chamadas simplesmente de u=f(x) e v=g(x), e dessa forma obtemos:

integral u d v equals u v minus integral v d u

Partindo do texto-base e dos conteúdos da unidade, assinale a alternativa que expressa corretamente a solução para integral x squared sin space x space d x

Escolha uma:
a.
-x2cosx+2cosx-2x sin2x+C

b.
-x2cosx+2cosx+C

c.
-x3cosx+2sinx-2x sinx+C

d.
2cosx-2x sinx+C

e.
-x2cosx-2cosx+2x sinx+C

Q: Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por partes. Na integração por partes temos que integral f left parenthesis x right parenthesis g apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x equals f left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis minus integral f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis d x As funções f e g, deriváveis, podem ser chamadas simplesmente de u=f(x) e v=g(x), e dessa forma obtemos: integral u d v equals u v minus integral v d u Partindo do texto-base e dos conteúdos da unidade, assinale a alternativa que expressa corretamente a solução para integral x squared sin space x space d x Escolha uma: a. -x2cosx+2cosx-2x sin2x+C b. -x2cosx+2cosx+C c. -x3cosx+2sinx-2x sinx+C d. 2cosx-2x sinx+C e. -x2cosx-2cosx+2x sinx+C

Para resolver a integral $\int x^2 \sin(x) dx$, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos $u$ e $dv$ de forma estratégica. Aqui, vamos definir: - $u = x^2$, então $du = 2x dx$ - $dv = \sin(x) dx$, então $v = -\cos(x)$ Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes: $\int u dv = uv - \int v du$ Substituindo os valores de $u$, $v$, $du$ e $dv$, temos: \[ \int x^2 \sin(x) dx = x^2 (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) (2x) dx \] \[ = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) dx \] Para resolver a integral $\int x \cos(x) dx$, usaremos novamente a integração por partes: - $u = x$, então $du = dx$ - $dv = \cos(x) dx$, então $v = \sin(x)$ \[ \int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx \] \[ = x \sin(x) + \cos(x) + C \] Substituindo este resultado na expressão anterior: \[ -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C \] \[ = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C \] Portanto, a resposta correta é: b. $-x^2\cos(x)+2\cos(x)+2x\sin(x)+C$.

Question

Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por partes.

Na integração por partes temos que

integral f left parenthesis x right parenthesis g apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x equals f left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis minus integral f apostrophe left parenthesis x right parenthesis g left parenthesis x right parenthesis d x

As funções f e g, deriváveis, podem ser chamadas simplesmente de u=f(x) e v=g(x), e dessa forma obtemos:

integral u d v equals u v minus integral v d u

Partindo do texto-base e dos conteúdos da unidade, assinale a alternativa que expressa corretamente a solução para integral x squared sin space x space d x

Escolha uma:
a.
  -x2cosx+2cosx-2x sin2x+C

b.
  -x2cosx+2cosx+C

c.
  -x3cosx+2sinx-2x sinx+C

d.
2cosx-2x sinx+C

e.
 -x2cosx-2cosx+2x sinx+C

Accepted Answer

Para resolver a integral $\int x^2 \sin(x) dx$, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos $u$ e $dv$ de forma estratégica. Aqui, vamos definir:

- $u = x^2$, então $du = 2x dx$
- $dv = \sin(x) dx$, então $v = -\cos(x)$

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes: $\int u dv = uv - \int v du$

Substituindo os valores de $u$, $v$, $du$ e $dv$, temos:

$$
\int x^2 \sin(x) dx = x^2 (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) (2x) dx
$$

$$
= -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) dx
$$

Para resolver a integral $\int x \cos(x) dx$, usaremos novamente a integração por partes:

- $u = x$, então $du = dx$
- $dv = \cos(x) dx$, então $v = \sin(x)$

$$
\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx
$$

$$
= x \sin(x) + \cos(x) + C
$$

Substituindo este resultado na expressão anterior:

$$
-x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C
$$

$$
= -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C
$$

Portanto, a resposta correta é:

b. $-x^2\cos(x)+2\cos(x)+2x\sin(x)+C$.

Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum ...

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