Questão 5

Sabe-se que o vetor gradiente pode ser utilizado para medições de temperatura, seja essa temperatura em um mapa térmico ou em uma placa de metal, por exemplo. Sendo assim, suponha que a temperatura em cada ponto (xy) de uma placa metálica é determinada por T(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 Qual seria a taxa de variação da temperatura no ponto (3, 4) na direção e sentido que fazem um ângulo de

1/3 * pi

radianos, assumindo um sistema de coodernadas, com o eixo x positivo?

Assinale a alternativa correta
radianos, assumindo um sistema de çoodernadas, com o eixo x positivo?

Assinale a alternativa correta.

A

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 7,93 unidades.

B

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 9,13 unidades.

C

A temperatura está aumentando à taxa de, aproximadamente, 12,93 unidades.

D

A temperatura está aumentando á taxa de, aproximadamente, 9,93 unidades.

E

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 5,93 unidades.

Q: Questão 5 Sabe-se que o vetor gradiente pode ser utilizado para medições de temperatura, seja essa temperatura em um mapa térmico ou em uma placa de metal, por exemplo. Sendo assim, suponha que a temperatura em cada ponto (xy) de uma placa metálica é determinada por T(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 Qual seria a taxa de variação da temperatura no ponto (3, 4) na direção e sentido que fazem um ângulo de 1/3 * pi radianos, assumindo um sistema de coodernadas, com o eixo x positivo? Assinale a alternativa correta radianos, assumindo um sistema de çoodernadas, com o eixo x positivo? Assinale a alternativa correta. A A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 7,93 unidades. B A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 9,13 unidades. C A temperatura está aumentando à taxa de, aproximadamente, 12,93 unidades. D A temperatura está aumentando á taxa de, aproximadamente, 9,93 unidades. E A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 5,93 unidades.

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função $ T(x, y) = x^2 + y^2 $. O vetor gradiente é dado por: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) \] Calculando as derivadas parciais, temos: \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial T}{\partial y} = 2y \] Portanto, o vetor gradiente é: \[ \nabla T = (2x, 2y) \] No ponto $(3, 4)$, o vetor gradiente é: \[ \nabla T(3, 4) = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8) \] A direção desejada faz um ângulo de $\frac{\pi}{3}$ radianos com o eixo $x$ positivo. O vetor unitário nessa direção é: \[ \mathbf{u} = (\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] A taxa de variação da temperatura na direção do vetor unitário $\mathbf{u}$ é dada pelo produto escalar do vetor gradiente com o vetor unitário: \[ \nabla T \cdot \mathbf{u} = (6, 8) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Calculando o produto escalar: \[ \nabla T \cdot \mathbf{u} = 6 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 4\sqrt{3} \] Aproximando $ \sqrt{3} \approx 1.732 $: \[ 4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928 \] Então, a taxa de variação é aproximadamente: \[ 3 + 6.928 = 9.928 \] Portanto, a resposta correta é: **Resposta: D** A temperatura está aumentando à taxa de, aproximadamente, 9,93 unidades.

Question

Questão 5

Sabe-se que o vetor gradiente pode ser utilizado para medições de temperatura, seja essa temperatura em um mapa térmico ou em uma placa de metal, por exemplo. Sendo assim, suponha que a temperatura em cada ponto (xy) de uma placa metálica é determinada por T(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 Qual seria a taxa de variação da temperatura no ponto (3, 4) na direção e sentido que fazem um ângulo de

1/3 * pi

radianos, assumindo um sistema de coodernadas, com o eixo x positivo?

Assinale a alternativa correta
radianos, assumindo um sistema de çoodernadas, com o eixo x positivo?

Assinale a alternativa correta.

A

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 7,93 unidades.

B

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 9,13 unidades.

C

A temperatura está aumentando à taxa de, aproximadamente, 12,93 unidades.

D

A temperatura está aumentando á taxa de, aproximadamente, 9,93 unidades.

E

A temperatura está aumentando a taxa de, aproximadamente, 5,93 unidades.

Accepted Answer

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função $ T(x, y) = x^2 + y^2 $.

O vetor gradiente é dado por:
$$
\nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right)
$$

Calculando as derivadas parciais, temos:
$$
\frac{\partial T}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial T}{\partial y} = 2y
$$

Portanto, o vetor gradiente é:
$$
\nabla T = (2x, 2y)
$$

No ponto $(3, 4)$, o vetor gradiente é:
$$
\nabla T(3, 4) = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8)
$$

A direção desejada faz um ângulo de $\frac{\pi}{3}$ radianos com o eixo $x$ positivo. O vetor unitário nessa direção é:
$$
\mathbf{u} = (\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$

A taxa de variação da temperatura na direção do vetor unitário $\mathbf{u}$ é dada pelo produto escalar do vetor gradiente com o vetor unitário:
$$
\nabla T \cdot \mathbf{u} = (6, 8) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$

Calculando o produto escalar:
$$
\nabla T \cdot \mathbf{u} = 6 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 4\sqrt{3}
$$

Aproximando $ \sqrt{3} \approx 1.732 $:
$$
4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928
$$

Então, a taxa de variação é aproximadamente:
$$
3 + 6.928 = 9.928
$$

Portanto, a resposta correta é:

**Resposta: D**

A temperatura está aumentando à taxa de, aproximadamente, 9,93 unidades.

Questão 5 Sabe-se que o vetor gradiente pode ser utilizad...

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