Um vaso elíptico pode ser construído de vidro ou cerâmica. Por ser um vaso não comum ele é obtido sob encomenda onde o preço do decímetro cúbico é de R$ 5,28. Este vaso pode ser gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada no plano pelas equações y= a (4x - x elevado a 2) e y= 3a (3x- x elevado a 2). Sabendo que x e y são dados em decímetros, que a = 3, determine a partir do volume desse vaso o custo para ser comprado. Apresente 2 (duas) casas decimais na resposta.

Question

Um vaso elíptico pode ser construído de vidro ou cerâmica. Por ser um vaso não comum ele é obtido sob encomenda onde o preço do decímetro cúbico é de R$ 5,28. Este vaso pode ser gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada no plano pelas equações y= a (4x - x elevado a 2)  e y= 3a (3x- x elevado a 2). Sabendo que x e y são dados em decímetros, que a = 3, determine a partir do volume desse vaso o custo para ser comprado. Apresente 2 (duas) casas decimais na resposta.

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos determinar o volume do vaso gerado pela rotação das curvas $ y = a(4x - x^2) $ e $ y = 3a(3x - x^2) $ em torno do eixo $ x $, onde $ a = 3 $.

Primeiro, substituímos $ a = 3 $ nas equações:

$$
y_1 = 3(4x - x^2) = 12x - 3x^2
$$

$$
y_2 = 3(3x - x^2) = 9x - 3x^2
$$

O volume $ V $ de um sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo $ x $ pode ser encontrado usando o método dos discos/lâminas, com a fórmula:

$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx
$$

Aqui, $ f(x) = 12x - 3x^2 $ e $ g(x) = 9x - 3x^2 $. Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas funções para determinar os limites de integração $ a $ e $ b $:

$$
12x - 3x^2 = 9x - 3x^2
$$

Simplificando:

$$
12x - 9x = 0
$$

$$
3x = 0
$$

$$
x = 0
$$

Portanto, as funções se intersectam em $ x = 0 $. Agora precisamos encontrar outro ponto de interseção. Como as funções têm a mesma forma quadrática, elas só se intersectam em $ x = 0 $. Podemos usar $ x = 3 $ como limite superior, pois $ 12x - 3x^2 $ e $ 9x - 3x^2 $ se anulam nesse ponto.

Agora, calculamos o volume:

$$
V = \pi \int_{0}^{3} [(12x - 3x^2)^2 - (9x - 3x^2)^2] \, dx
$$

Primeiro, expandimos os quadrados:

$$
(12x - 3x^2)^2 = 144x^2 - 72x^3 + 9x^4
$$

$$
(9x - 3x^2)^2 = 81x^2 - 54x^3 + 9x^4
$$

Subtraímos as duas expressões:

$$
144x^2 - 72x^3 + 9x^4 - (81x^2 - 54x^3 + 9x^4) = 144x^2 - 81x^2 - 72x^3 + 54x^3
$$

$$
= 63x^2 - 18x^3
$$

Então, a integral fica:

$$
V = \pi \int_{0}^{3} (63x^2 - 18x^3) \, dx
$$

Calculamos a integral:

$$
\int (63x^2 - 18x^3) \, dx = 63 \frac{x^3}{3} - 18 \frac{x^4}{4}
$$

$$
= 21x^3 - 4.5x^4
$$

Avaliamos de 0 a 3:

$$
V = \pi \left[ (21(3)^3 - 4.5(3)^4) - (21(0)^3 - 4.5(0)^4) \right]
$$

$$
= \pi \left[ 21(27) - 4.5(81) \right]
$$

$$
= \pi \left[ 567 - 364.5 \right]
$$

$$
= \pi (202.5)
$$

$$
= 202.5\pi \, \text{dm}^3
$$

Finalmente, o custo é:

$$
C = 202.5\pi \times 5.28
$$

$$
C \approx 202.5 \times 3.1416 \times 5.28
$$

$$
C \approx 3357.17 \, \text{R\$}
$$

Portanto, o custo para comprar o vaso é aproximadamente **R\$ 3357,17**.

Um vaso elíptico pode ser construído de vidro ou cerâmica. P...

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