(5) (2,00 pontos) Ache a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície z = x² + y² no ponto (3,4,5).
G
Gilvana
23/10/24

Question

(5) (2,00 pontos) Ache a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície z = x² + y² no ponto (3,4,5).

Accepted Answer

Para encontrar a equação do plano tangente e as equações simétricas da reta normal à superfície $z = x^2 + y^2$ no ponto $(3, 4, 5)$, seguimos os passos abaixo:

### 1. Equação do Plano Tangente

A equação geral de um plano tangente a uma superfície dada por $z = f(x, y)$ no ponto $(x_0, y_0, z_0)$ é:

$$
z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)
$$

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $z = x^2 + y^2$:

- $f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$
- $f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y$

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto $(3, 4)$:

- $f_x(3, 4) = 2 \times 3 = 6$
- $f_y(3, 4) = 2 \times 4 = 8$

Substituímos na equação do plano tangente:

$$
z - 5 = 6(x - 3) + 8(y - 4)
$$

Simplificando:

$$
z - 5 = 6x - 18 + 8y - 32
$$
$$
z = 6x + 8y - 45
$$

### 2. Equações Simétricas da Reta Normal

A direção da reta normal é dada pelo vetor normal ao plano, que tem componentes $(f_x, f_y, -1)$. No ponto $(3, 4, 5)$, temos o vetor normal $(6, 8, -1)$.

As equações simétricas da reta normal são:

$$
\frac{x - 3}{6} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 5}{-1}
$$

Essas são as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto dado.