7. Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005x² - 0,01y², onde x, y e z são medidos em metros. O eixo x positivo aponta para leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Você se encontra no ponto (60, 40, 966).

a) Se você andar para o sul, começará a subir ou a descer a montanha? A que taxa?

b) Se você andar para o noroeste, começará a subir ou a descer a montanha? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é máxima? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

d) Em que direções a inclinação é nula?

Question

7. Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005x² - 0,01y², onde x, y e z são medidos em metros. O eixo x positivo aponta para leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Você se encontra no ponto (60, 40, 966).

a) Se você andar para o sul, começará a subir ou a descer a montanha? A que taxa?

b) Se você andar para o noroeste, começará a subir ou a descer a montanha? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é máxima? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

d) Em que direções a inclinação é nula?

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos calcular o gradiente da função $ z = 1000 - 0,005x^2 - 0,01y^2 $ e usar este gradiente para determinar as direções de subida e descida.

### Gradiente

A função é $ z(x, y) = 1000 - 0,005x^2 - 0,01y^2 $.

O gradiente é dado por:

$$
\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)
$$

Calculando as derivadas parciais:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -0,01x
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -0,02y
$$

Portanto, o gradiente é:

$$
\nabla z = (-0,01x, -0,02y)
$$

No ponto $(60, 40)$:

$$
\nabla z = (-0,01 \times 60, -0,02 \times 40) = (-0,6, -0,8)
$$

### a) Direção Sul

Andar para o sul significa uma variação na direção negativa de $y$, ou seja, $(0, -1)$.

A taxa de variação é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:

$$
\nabla z \cdot (0, -1) = -0,8 \times (-1) = 0,8
$$

Portanto, ao andar para o sul, você começará a subir a montanha a uma taxa de $0,8$ metros por metro.

### b) Direção Noroeste

Andar para o noroeste significa uma variação na direção $(-1, 1)$.

Normalizando este vetor:

$$
\frac{(-1, 1)}{\sqrt{2}}
$$

A taxa de variação é:

$$
\nabla z \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = (-0,6, -0,8) \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$

$$
= \frac{0,6}{\sqrt{2}} - \frac{0,8}{\sqrt{2}} = \frac{-0,2}{\sqrt{2}} \approx -0,141
$$

Portanto, ao andar para o noroeste, você começará a descer a montanha a uma taxa de aproximadamente $0,141$ metros por metro.

### c) Direção de Inclinação Máxima

A inclinação máxima ocorre na direção do gradiente. O vetor gradiente no ponto $(60, 40)$ é $(-0,6, -0,8)$.

A taxa de elevação máxima é o módulo do gradiente:

$$
\|\nabla z\| = \sqrt{(-0,6)^2 + (-0,8)^2} = \sqrt{0,36 + 0,64} = \sqrt{1} = 1
$$

O ângulo que este caminho faz com a horizontal é dado por:

$$
\tan(\theta) = \frac{\text{taxa de elevação}}{1} = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ
$$

### d) Direções de Inclinação Nula

A inclinação é nula quando o produto escalar do gradiente com a direção é zero. Isso ocorre em direções perpendiculares ao gradiente.

Seja o vetor direção $(a, b)$, temos:

$$
-0,6a - 0,8b = 0 \Rightarrow 3a + 4b = 0
$$

Uma solução é $a = 4$ e $b = -3$, ou seja, a direção $(4, -3)$ e $(-4, 3)$ são direções de inclinação nula.

7. Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é...

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