b) f(x,y) = \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} ext{ se } (x,y)
eq (0,0) ext{ e } f(0,0) = 0.

Q: b) f(x,y) = \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} \text{ se } (x,y) \neq (0,0) \text{ e } f(0,0) = 0.

Para verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável em $(0, 0)$, devemos verificar se ela é contínua nesse ponto e se o limite do quociente de diferença tende a zero. A função é dada por: \[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & \text{se } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & \text{se } (x, y) = (0, 0) \end{cases} \] 1. **Continuidade em $(0, 0)$:** A função $ f(x, y) $ é contínua em $(0, 0)$ se: \[ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0) = 0 \] Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Então, \[ f(x, y) = \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r \sin \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta \] Quando $ r \to 0 $, temos que $ r \cos^2 \theta \sin \theta \to 0 $. Portanto, o limite é zero e a função é contínua em $(0, 0)$. 2. **Diferenciabilidade:** Para ser diferenciável, além da continuidade, o limite do quociente de diferença deve satisfazer: \[ \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - \nabla f(0, 0) \cdot (h, k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 \] Como $ f(0, 0) = 0 $, precisamos verificar se: \[ \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 \] Usando a expressão de $ f(x, y) $ perto de $(0, 0)$: \[ \frac{h^2 k}{h^2 + k^2} \] Substituindo $ h = r \cos \theta $ e $ k = r \sin \theta $, temos: \[ \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r \sin \theta}{r^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta \] O limite é: \[ \lim_{r \to 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r} = \cos^2 \theta \sin \theta \] Esse limite depende de $\theta$ e não é zero para todos os $\theta$, logo, o limite não é zero. Portanto, a função $ f(x, y) $ não é diferenciável em $(0, 0)$.

Question

b) f(x,y) = \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} 	ext{ se } (x,y) 
eq (0,0) 	ext{ e } f(0,0) = 0.

Accepted Answer

Para verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável em $(0, 0)$, devemos verificar se ela é contínua nesse ponto e se o limite do quociente de diferença tende a zero.

A função é dada por:

$$
f(x, y) = 
\begin{cases} 
\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & \text{se } (x, y) \neq (0, 0) \
0, & \text{se } (x, y) = (0, 0)
\end{cases}
$$

1. **Continuidade em $(0, 0)$:**

A função $ f(x, y) $ é contínua em $(0, 0)$ se:

$$
   \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0) = 0
   $$

Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Então,

$$
   f(x, y) = \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r \sin \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta
   $$

Quando $ r \to 0 $, temos que $ r \cos^2 \theta \sin \theta \to 0 $. Portanto, o limite é zero e a função é contínua em $(0, 0)$.

2. **Diferenciabilidade:**

Para ser diferenciável, além da continuidade, o limite do quociente de diferença deve satisfazer:

$$
   \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - \nabla f(0, 0) \cdot (h, k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
   $$

Como $ f(0, 0) = 0 $, precisamos verificar se:

$$
   \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
   $$

Usando a expressão de $ f(x, y) $ perto de $(0, 0)$:

$$
   \frac{h^2 k}{h^2 + k^2}
   $$

Substituindo $ h = r \cos \theta $ e $ k = r \sin \theta $, temos:

$$
   \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r \sin \theta}{r^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta
   $$

O limite é:

$$
   \lim_{r \to 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r} = \cos^2 \theta \sin \theta
   $$

Esse limite depende de $\theta$ e não é zero para todos os $\theta$, logo, o limite não é zero.

Portanto, a função $ f(x, y) $ não é diferenciável em $(0, 0)$.