Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=1+x^2ye^y e pelos planos z=0, x=1, x=-1,y=0,y=1
E
Ester
07/05/24

Question

Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=1+x^2ye^y e pelos planos z=0, x=1, x=-1,y=0,y=1

Accepted Answer

Para determinar o volume do sólido limitado pela superfície $z = 1 + x^2ye^y$ e pelos planos $z = 0$, $x = 1$, $x = -1$, $y = 0$, $y = 1$, podemos usar uma integral tripla. No entanto, como o sólido está delimitado por $z=0$ na parte inferior e pela superfície $z = 1 + x^2ye^y$ na parte superior, podemos simplificar o problema para uma integral dupla projetando a região no plano xy e integrando a função $z = 1 + x^2ye^y$ sobre esta área.

Os limites para $x$ são de $-1$ a $1$, e os limites para $y$ são de $0$ a $1$. Portanto, a integral dupla que representa o volume é:

$$
V = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} (1 + x^2ye^y) \,dy\,dx
$$

Vamos resolver essa integral passo a passo:

Primeiro, integramos com respeito a $y$:

$$
\int (1 + x^2ye^y) \,dy = y + x^2\left(\frac{y e^y}{2} - \frac{e^y}{2}\right) + C
$$

Aqui, aplicamos a integração por partes para $x^2ye^y$, onde $u = y$ e $dv = e^y dy$, resultando em $du = dy$ e $v = e^y$. A fórmula para a integração por partes é $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Agora, substituímos os limites de $y$ de $0$ a $1$:

$$
\left[y + x^2\left(\frac{y e^y}{2} - \frac{e^y}{2}\right)\right]_0^1 = \left[1 + x^2\left(\frac{e}{2} - \frac{e}{2}\right)\right] - \left[0 + x^2\left(0 - \frac{1}{2}\right)\right] = 1 - \frac{x^2}{2}
$$

A expressão acima para a integral interna parece ter sido mal interpretada durante a explicação. A correta avaliação da integral interna em relação a $y$ é:

$$
\int_{0}^{1} (1 + x^2ye^y) \,dy = \left[y + x^2\left(e^y(y - 1) + 1\right)\right]_0^1
$$

Substituindo os limites, obtemos:

$$
[y + x^2(e^y(y - 1) + 1)]_0^1 = [1 + x^2(e(1 - 1) + 1) - (0 + x^2(1(0 - 1) + 1))] = 1 + x^2(e - 1)
$$

Agora, integramos em relação a $x$:

$$
\int_{-1}^{1} (1 + x^2(e - 1)) \,dx = \left[x + \frac{x^3}{3}(e - 1)\right]_{-1}^{1}
$$

Substituindo os limites de $x$ de $-1$ a $1$:

$$
\left[1 + \frac{1}{3}(e - 1)\right] - \left[-1 - \frac{1}{3}(e - 1)\right] = 2 + \frac{2}{3}(e - 1)
$$

Portanto, o volume do sólido é:

$$
V = 2 + \frac{2}{3}(e - 1)
$$

Este é o volume do sólido limitado pela superfície dada e pelos planos especificados.