Encontre a serie de Taylor para a função: f ( x ) = sen ( x ) centrada em 𝑎 = π
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Q: Encontre a serie de Taylor para a função: f ( x ) = sen ( x ) centrada em 𝑎 = π 2

Para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $, precisamos calcular as derivadas da função e avaliá-las no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a $ é dada por: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ \sin(x) $: 1. Primeira derivada: $ f'(x) = \cos(x) $ 2. Segunda derivada: $ f''(x) = -\sin(x) $ 3. Terceira derivada: $ f'''(x) = -\cos(x) $ 4. Quarta derivada: $ f^{(4)}(x) = \sin(x) $ Podemos observar que as derivadas de $ \sin(x) $ se repetem a cada quatro termos. Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $: 1. $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ 2. $ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ 3. $ f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $ 4. $ f'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ 5. $ f^{(4)}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos: \[ \begin{align*} \sin(x) &\approx 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2!}(x - \frac{\pi}{2})^2 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2})^3 + \frac{1}{4!}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots \\ &= 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots \end{align*} \] Portanto, a série de Taylor para $ \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $ é: \[ \sin(x) = 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots \]

Question

Encontre a serie de Taylor para a função: f  (  x  )  =  sen  (  x  )  centrada em   𝑎 =  π
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Accepted Answer

Para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $, precisamos calcular as derivadas da função e avaliá-las no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $.

A série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a $ é dada por:

$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
$$

Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ \sin(x) $:

1. Primeira derivada: $ f'(x) = \cos(x) $
2. Segunda derivada: $ f''(x) = -\sin(x) $
3. Terceira derivada: $ f'''(x) = -\cos(x) $
4. Quarta derivada: $ f^{(4)}(x) = \sin(x) $

Podemos observar que as derivadas de $ \sin(x) $ se repetem a cada quatro termos.

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $:

1. $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
2. $ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
3. $ f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $
4. $ f'''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
5. $ f^{(4)}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:

$$
\begin{align*}
\sin(x) &\approx 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2!}(x - \frac{\pi}{2})^2 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2})^3 + \frac{1}{4!}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots \
&= 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots
\end{align*}
$$

Portanto, a série de Taylor para $ \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $ é:

$$
\sin(x) = 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x - \frac{\pi}{2})^4 + \cdots
$$