Encontre o diferencial total e a aproximação linear de f(x,y) = e^(sen z) em P(0,0). Determine também uma estimativa para o erro máximo quando se aproxima a função por sua aproximação linear, considerando a região R: |x| ≤ 1, |y| ≤ 10^{-1} (representando algum valor numérico decimal, não esqueça, ou selecione a opção contrária, desde que opções disponíveis... utilize também que na região -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1)

Respostas:

a) O diferencial é:
df = dz + z dy

onde, dz = Δz = x = Δy = y =

b) A aproximação linear é:
L(x,y) = y =

c) E erro máximo na região R é:
E = 10^{-2}

Question

Encontre o diferencial total e a aproximação linear de f(x,y) = e^(sen z) em P(0,0). Determine também uma estimativa para o erro máximo quando se aproxima a função por sua aproximação linear, considerando a região R: |x| ≤ 1, |y| ≤ 10^{-1} (representando algum valor numérico decimal, não esqueça, ou selecione a opção contrária, desde que opções disponíveis... utilize também que na região -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1)

Respostas:

a) O diferencial é: df = dz + z dy

onde, dz = Δz = x = Δy = y =

b) A aproximação linear é: L(x,y) = y =

c) E erro máximo na região R é: E = 10^{-2}

Respostas:

a) O diferencial é:
df = dz + z dy

onde, dz = Δz = x = Δy = y =

b) A aproximação linear é:
L(x,y) = y =

c) E erro máximo na região R é:
E = 10^{-2}

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos abordar cada parte separadamente.

### 1. Diferença total

A função dada é $ f(x, y) = e^x \sin(2y) $.

A diferencial total $ df $ é dada por:

$$ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $$

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:

- Derivada parcial em relação a $ x $:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = e^x \sin(2y) $$

- Derivada parcial em relação a $ y $:

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos(2y) \cdot 2 = 2e^x \cos(2y) $$

Substituindo na expressão para $ df $:

$$ df = e^x \sin(2y) \, dx + 2e^x \cos(2y) \, dy $$

### 2. Aproximação linear

A aproximação linear de $ f(x, y) $ em torno do ponto $ P(0, 0) $ é dada por:

$$ L(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) \cdot (x - 0) + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) \cdot (y - 0) $$

Calculamos cada termo:

- $ f(0, 0) = e^0 \sin(0) = 0 $

- $ \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = e^0 \sin(0) = 0 $

- $ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 2e^0 \cos(0) = 2 $

Portanto, a aproximação linear é:

$$ L(x, y) = 0 + 0 \cdot x + 2 \cdot y = 2y $$

### 3. Erro máximo na região $ R $

A estimativa do erro máximo quando se aproxima a função por sua aproximação linear é dada pela fórmula do erro de Taylor de segunda ordem:

O termo de segunda ordem para o erro é:

$$ E(x, y) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(c_1, c_2) \cdot (x-0)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(c_1, c_2) \cdot (x-0)(y-0) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(c_1, c_2) \cdot (y-0)^2 \right) $$

Onde $ (c_1, c_2) $ está dentro da região $ R $.

As segundas derivadas são:

- $ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^x \sin(2y) $

- $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2e^x \cos(2y) $

- $ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4e^x \sin(2y) $

Na região $ R: |x| \leq 0.1 $ e $ |y| \leq 0.1 $, o erro máximo ocorre nos valores extremos dessas derivadas dentro da região. Considerando $ e^x \approx 1 $ para $ x $ pequeno, o erro máximo pode ser estimado como:

$$ E(x, y) \approx 0.5 \times (0.1^2 + 2 \times 0.1 \times 0.1 + 4 \times 0.1^2) $$

$$ E(x, y) \approx 0.5 \times (0.01 + 0.02 + 0.04) $$

$$ E(x, y) \approx 0.5 \times 0.07 = 0.035 $$

Portanto, o erro máximo na região é aproximadamente $ 0.035 $.

### Respostas Finalizadas
- A diferencial é: $ df = e^x \sin(2y) \, dx + 2e^x \cos(2y) \, dy $
- A aproximação linear é: $ L(x, y) = 2y $
- O erro máximo na região $ R $ é aproximadamente $ 0.035 $.

Encontre o diferencial total e a aproximação linear de f(x,y...

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