Questão 1
(clique na imagem para visualizar)

Fonte: elaborado pelo professor, 2024.

Com base nessas informações, resolva os itens abaixo:
a) Escreva o PVI que descreve a queda do paraquedista antes da abertura do paraquedas.
b) Resolva o PVI do item (a) e determine a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas $ (\mathrm{t}=10 \mathrm{~s}) $.
c) Escreva a EDO que descreve a queda do paraquedista após da abertura do paraquedas e determine a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas, isto é, determine a velocidade quando $ t $ tendo ao infinito.

Question

Questão 1
(clique na imagem para visualizar)

Fonte: elaborado pelo professor, 2024.

Com base nessas informações, resolva os itens abaixo:
a) Escreva o PVI que descreve a queda do paraquedista antes da abertura do paraquedas.
b) Resolva o PVI do item (a) e determine a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas $ (\mathrm{t}=10 \mathrm{~s}) $.
c) Escreva a EDO que descreve a queda do paraquedista após da abertura do paraquedas e determine a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas, isto é, determine a velocidade quando $ t $ tendo ao infinito.

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos seguir passo a passo cada item solicitado.

### Item (a)
Primeiro, precisamos escrever o Problema de Valor Inicial (PVI) que descreve a queda do paraquedista antes da abertura do paraquedas.

A equação diferencial que descreve a velocidade $v(t)$ de um objeto em queda livre com resistência do ar proporcional à velocidade é dada por:

$$
m \frac{dv}{dt} = mg - kv
$$

onde:
- $m$ é a massa do paraquedista,
- $g$ é a aceleração devido à gravidade,
- $k$ é a constante de proporcionalidade da resistência do ar.

Rearranjando a equação, temos:

$$
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g
$$

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O PVI deve incluir a condição inicial. Supondo que o paraquedista começa a queda do repouso:

$$
v(0) = 0
$$

Portanto, o PVI é:

$$
\begin{cases}
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g \
v(0) = 0
\end{cases}
$$

### Item (b)
Para resolver o PVI do item (a), vamos usar o método do fator integrante. A equação diferencial é:

$$
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g
$$

O fator integrante é dado por:

$$
\mu(t) = e^{\int \frac{k}{m} dt} = e^{\frac{k}{m} t}
$$

Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:

$$
e^{\frac{k}{m} t} \frac{dv}{dt} + e^{\frac{k}{m} t} \frac{k}{m} v = g e^{\frac{k}{m} t}
$$

Isso pode ser escrito como:

$$
\frac{d}{dt} \left( e^{\frac{k}{m} t} v \right) = g e^{\frac{k}{m} t}
$$

Integrando ambos os lados em relação a $t$:

$$
e^{\frac{k}{m} t} v = \int g e^{\frac{k}{m} t} dt
$$

$$
e^{\frac{k}{m} t} v = \frac{mg}{k} e^{\frac{k}{m} t} + C
$$

Multiplicando ambos os lados por $e^{-\frac{k}{m} t}$:

$$
v = \frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m} t}
$$

Usando a condição inicial $v(0) = 0$:

$$
0 = \frac{mg}{k} + C \implies C = -\frac{mg}{k}
$$

Portanto, a solução geral é:

$$
v(t) = \frac{mg}{k} \left(1 - e^{-\frac{k}{m} t}\right)
$$

Para determinar a velocidade no instante em que se abre o paraquedas ($t = 10 \, \text{s}$):

$$
v(10) = \frac{mg}{k} \left(1 - e^{-\frac{k}{m} \cdot 10}\right)
$$

### Item (c)
Após a abertura do paraquedas, a resistência do ar aumenta significativamente. Suponhamos que a nova constante de proporcionalidade da resistência do ar seja $k'$. A nova EDO será:

$$
m \frac{dv}{dt} = mg - k'v
$$

Rearranjando:

$$
\frac{dv}{dt} + \frac{k'}{m} v = g
$$

Para encontrar a velocidade mínima quando $t$ tende ao infinito, analisamos o estado estacionário da equação, onde $\frac{dv}{dt} = 0$:

$$
0 + \frac{k'}{m} v_{\text{min}} = g \implies v_{\text{min}} = \frac{mg}{k'}
$$

Portanto, a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas é:

$$
v_{\text{min}} = \frac{mg}{k'}
$$

Questão 1 (clique na imagem para visualizar) Fonte: elab...

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